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2022年高考数学甲卷-文21

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（12分）设抛物线

$C:y^{2}=2px(p > 0)$ 的焦点为

$F$ ，点

$D(p,0)$ ，过

$F$ 的直线交

$C$ 于

$M$ ，

$N$ 两点．当直线

$MD$ 垂直于

$x$ 轴时，

$\vert MF\vert =3$ ．
（1）求

$C$ 的方程；
（2）设直线

$MD$ ，

$ND$ 与

$C$ 的另一个交点分别为

$A$ ，

$B$ ，记直线

$MN$ ，

$AB$ 的倾斜角分别为

$\alpha$ ，

$\beta$ ．当

$\alpha -\beta$ 取得最大值时，求直线

$AB$ 的方程．
分析：（1）由已知求得

$\vert MD\vert =\sqrt{2}p$ ，

$\vert FD\vert =\dfrac{p}{2}$ ，则在

$\rm{Rt}\Delta MFD$ 中，利用勾股定理得

$p=2$ ，则

$C$ 的方程可求；
（2）设

$M$ ，

$N$ ，

$A$ ，

$B$ 的坐标，写出

$\tan \alpha$ 与

$\tan \beta$ ，再由三点共线可得

${y}_{3}=-\dfrac{8}{{y}_{1}}$ ，

${y}_{4}=-\dfrac{8}{{y}_{2}}$ ；由题意可知，直线

$MN$ 的斜率不为0，设

$l_{MN}:x=my+1$ ，联立直线方程与抛物线方程，化为关于

$y$ 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得

$y_{1}+y_{2}=4m$ ，

$y_{1}y_{2}=-4$ ，求得

$\tan \beta$ 与

$\tan \alpha$ ，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得

$AB$ 的方程．
解：（1）由题意可知，当

$x=p$ 时，

$y^{2}=2p^{2}$ ，得

$y_{M}=\sqrt{2}p$ ，可知

$\vert MD\vert =\sqrt{2}p$ ，

$\vert FD\vert =\dfrac{p}{2}$ ．
则在

$\rm{Rt}\Delta MFD$ 中，

$\vert FD\vert ^{2}+\vert DM\vert ^{2}=\vert FM\vert ^{2}$ ，得

$(\dfrac{p}{2})^{2}+(\sqrt{2}p)^{2}=9$ ，解得

$p=2$ ．
则

$C$ 的方程为

$y^{2}=4x$ ；
（2）设

$M(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$N(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，

$A(x_{3}$ ，

$y_{3})$ ，

$B(x_{4}$ ，

$y_{4})$ ，
当

$MN$ 与

$x$ 轴垂直时，由对称性可知，

$AB$ 也与

$x$ 轴垂直，
此时

$\alpha =\beta =\dfrac{\pi }{2}$ ，则

$\alpha -\beta =0$ ，
由（1）可知

$F(1,0)$ ，

$D(2,0)$ ，则

$\tan \alpha =k_{MN}=\dfrac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\dfrac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\dfrac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-\dfrac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}=\dfrac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$ ，
又

$N$ 、

$D$ 、

$B$ 三点共线，则

$k_{ND}=k_{BD}$ ，即

$\dfrac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}-2}=\dfrac{{y}_{4}-0}{{x}_{4}-2}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{{y}_{2}-0}{\dfrac{{{y}_{2}}^{2}}{4}-2}=\dfrac{{y}_{4}-0}{\dfrac{{{y}_{4}}^{2}}{4}-2}$ ，
得

$y_{2}y_{4}=-8$ ，即

$y_{4}=-\dfrac{8}{{y}_{2}}$ ；
同理由

$M$ 、

$D$ 、

$A$ 三点共线，得

$y_{3}=-\dfrac{8}{{y}_{1}}$ ．
则

$\tan \beta =\dfrac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}=\dfrac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}=\dfrac{{y}_{1}{y}_{2}}{-2({y}_{1}+{y}_{2})}$ ．
由题意可知，直线

$MN$ 的斜率不为0，设

$l_{MN}:x=my+1$ ，
由

$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\ {x=my+1}\end{array}\right.$ ，得

$y^{2}-4my-4=0$ ，

$y_{1}+y_{2}=4m$ ，

$y_{1}y_{2}=-4$ ，则

$\tan \alpha =\dfrac{4}{4m}=\dfrac{1}{m}$ ，

$\tan \beta =\dfrac{-4}{-2\times 4m}=\dfrac{1}{2m}$ ，
则

$\tan (\alpha -\beta )=\dfrac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }=\dfrac{\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{2m}}{1+\dfrac{1}{2m}\cdot \dfrac{1}{m}}=\dfrac{1}{2m+\dfrac{1}{m}}$ ，

$\because$

$\tan \alpha =\dfrac{1}{m}$ ，

$\tan \beta =\dfrac{1}{2m}$ ，

$\therefore \tan \alpha$ 与

$\tan \beta$ 正负相同，

$\therefore$