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2022年高考数学甲卷-文18<-->2022年高考数学甲卷-文20
（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面$ABCD$是边长为8（单位：$cm)$的正方形，$\Delta EAB$，$\Delta FBC$，$\Delta GCD$，$\Delta HDA$均为正三角形，且它们所在的平面都与平面$ABCD$垂直．
（1）证明：$EF//$平面$ABCD$；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
分析：（1）将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；
（2）首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可．
（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，
做$EE'\bot AB$于点$E'$，做$FF'\bot BC$于点$F'$，
由于底面为正方形，$\Delta ABE$，$\Delta BCF$均为等边三角形，
故等边三角形的高相等，即$EE'=FF'$，
由面面垂直的性质可知$EE'$，$FF'$均与底面垂直，
则$EE'//FF'$，四边形$EE'F'F$为平行四边形，则$EF//E'F'$，
由于$EF$不在平面$ABCD$内，$E'F'$在平面$ABCD$内，
由线面平行的判断定理可得$EF//$平面$ABCD$．
（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，
其中长方体的高$AA_{1}=EE'=4\sqrt{3}$，
长方体的体积$V_{1}=8\times 8\times 4\sqrt{3}=256\sqrt{3}cm^{3}$，
一个三棱锥的体积$V_{2}=\dfrac{1}{3}\times (\dfrac{1}{2}\times 4\times 4)\times 4\sqrt{3}=\dfrac{32\sqrt{3}}{3}cm^{3}$，
则包装盒的容积为$V=V_{1}-4V_{2}=256\sqrt{3}-4\times \dfrac{32\sqrt{3}}{3}=\dfrac{640}{3}\sqrt{3}cm^{3}$．
点评：本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．
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