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2022年高考数学甲卷-文10<-->2022年高考数学甲卷-文12
（5分）已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$的离心率为$\dfrac{1}{3}$，$A_{1}$，$A_{2}$分别为$C$的左、右顶点，$B$为$C$的上顶点．若$\overrightarrow{B{A_1}}\cdot \overrightarrow{B{A_2}}=-1$，则$C$的方程为( )
A．$\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{16}=1$ B．$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{8}=1$
C．$\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ D．$\dfrac{x^2}{2}+y^{2}=1$
分析：首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量积运算法则可得椭圆方程．
解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为$\dfrac{{x}^{2}}{9{m}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{8{m}^{2}}=1(m > 0)$，
则$A_{1}(-3m,0),A_{2}(3m,0),B(0,2\sqrt{2}m)$，
由平面向量数量积的运算法则可得：
$\overrightarrow{BA_{1}}\cdot \overrightarrow{BA_{2}}=(-3m,-2\sqrt{2}m)\cdot (3m,-2\sqrt{2}m)=-9m^{2}+8m^{2}=-1$，$\therefore m^{2}=1$，
则椭圆方程为$\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{8}=1$．
故选：$B$．
点评：本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题．
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