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2022年高考数学甲卷-文11<-->2022年高考数学甲卷-文13
（5分）已知$9^{m}=10$，$a=10^{m}-11$，$b=8^{m}-9$，则( )
A．$a > 0 > b$ B．$a > b > 0$ C．$b > a > 0$ D．$b > 0 > a$
分析：首先由$9^{m}=10$得到$m=\log _{9}10$，可大致计算$m$的范围，观察$a$，$b$的形式从而构造函数$f(x)=x^{m}-x-1(x > 1)$，利用$f(x)$的单调性比较$f(10)$与$f$（8）大小关系即可．
解：$\because 9^{m}=10$，$\therefore m=\log _{9}10$，
$\because$$1=lo{g}_{9}9 < lo{g}_{9}10 < lo{g}_{9}\sqrt{729}=\dfrac{3}{2}$
$\therefore$$1 < m < \dfrac{3}{2}$，
$a=10^{m}-11=10^{m}-10-1$，$b=8^{m}-9=8^{m}-8-1$，
构造函数$f(x)=x^{m}-x-1(x > 1)$，
$\therefore f\prime (x)=mx^{m-1}-1$，
$\because$$1 < m < \dfrac{3}{2}$，$x > 1$，$\therefore f\prime (x)=mx^{m-1}-1 > 0$，
$\therefore f(x)=x^{m}-x-1$在$(1,+\infty )$单调递增，
$\therefore f(10) > f$（8），又因为$f(9)={9}^{lo{g}_{9}10}-9-1=0$，
故$a > 0 > b$，
故选：$A$．
点评：本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目．
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