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2022年高考数学甲卷-文10

(5分)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为$2\pi$,侧面积分别为${{S}_{甲}}$和${{S}_{乙}}$,体积分别为${{V}_{甲}}$和${{V}_{乙}}$.若$\dfrac{{{S}_{甲}}}{{{S}_{乙}}}=2$,则$\dfrac{{{V}_{甲}}}{{{V}_{乙}}}=($  )
A.$\sqrt{5}$              B.$2\sqrt{2}$              C.$\sqrt{10}$              D.$\dfrac{5\sqrt{10}}{4}$
分析:设圆的半径(即圆锥母线)为3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为$r_{1}$,$r_{2}$,高分别为$h_{1}$,$h_{2}$,则可求得$r_{1}=2$,$r_{2}=1$,${h}_{1}=\sqrt{5},{h}_{2}=2\sqrt{2}$,进而求得体积之比.
解:如图,

甲,乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥母线)为3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为$r_{1}$,$r_{2}$,高分别为$h_{1}$,$h_{2}$,
则$2\pi r_{1}=4\pi$,$2\pi r_{2}=2\pi$,解得$r_{1}=2$,$r_{2}=1$,
由勾股定理可得${h}_{1}=\sqrt{5},{h}_{2}=2\sqrt{2}$,
$\therefore$$\dfrac{{{V}_{甲}}}{{{V}_{乙}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\pi {{r}_{1}}^{2}{{h}_{1}}}{\dfrac{1}{3}\pi {{r}_{2}}^{2}{{h}_{2}}}=\sqrt{10}$.
故选:$C$.
点评:本题考查圆锥的侧面积和体积求解,考查运算求解能力,属于中档题.
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