2022年高考数学甲卷-文10

（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为

$2\pi$ ，侧面积分别为

${{S}_{甲}}$ 和

${{S}_{乙}}$ ，体积分别为

${{V}_{甲}}$ 和

${{V}_{乙}}$ ．若

$\dfrac{{{S}_{甲}}}{{{S}_{乙}}}=2$ ，则

$\dfrac{{{V}_{甲}}}{{{V}_{乙}}}=($ 　　)
A．

$\sqrt{5}$ B．

$2\sqrt{2}$ C．

$\sqrt{10}$ D．

$\dfrac{5\sqrt{10}}{4}$
分析：设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为

$r_{1}$ ，

$r_{2}$ ，高分别为

$h_{1}$ ，

$h_{2}$ ，则可求得

$r_{1}=2$ ，

$r_{2}=1$ ，

${h}_{1}=\sqrt{5},{h}_{2}=2\sqrt{2}$ ，进而求得体积之比．
解：如图，

甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为

$r_{1}$ ，

$r_{2}$ ，高分别为

$h_{1}$ ，

$h_{2}$ ，
则

$2\pi r_{1}=4\pi$ ，

$2\pi r_{2}=2\pi$ ，解得

$r_{1}=2$ ，

$r_{2}=1$ ，
由勾股定理可得

${h}_{1}=\sqrt{5},{h}_{2}=2\sqrt{2}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{{{V}_{甲}}}{{{V}_{乙}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\pi {{r}_{1}}^{2}{{h}_{1}}}{\dfrac{1}{3}\pi {{r}_{2}}^{2}{{h}_{2}}}=\sqrt{10}$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．

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