首页 > 数学 > 高考题 > 2022 > 2022年全国甲文

2022年高考数学甲卷-文9

2022年高考数学甲卷-文8<-->2022年高考数学甲卷-文10

（5分）在长方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，已知

$B_{1}D$ 与平面

$ABCD$ 和平面

$AA_{1}B_{1}B$ 所成的角均为

$30^\circ$ ，则(　　)
A．

$AB=2AD$
B．

$AB$ 与平面

$AB_{1}C_{1}D$ 所成的角为

$30^\circ$
C．

$AC=CB_{1}$
D．

$B_{1}D$ 与平面

$BB_{1}C_{1}C$ 所成的角为

$45^\circ$
分析：不妨令

$AA_{1}=1$ ，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．
解：如图所示，连接

$AB_{1}$ ，

$BD$ ，不妨令

$AA_{1}=1$ ，

在长方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$AD\bot$ 面

$AA_{1}B_{1}B$ ，

$BB_{1}\bot$ 面

$ABCD$ ，
所以

$\angle B_{1}DB$ 和

$\angle DB_{1}A$ 分别为

$B_{1}D$ 与平面

$ABCD$ 和平面

$AA_{1}B_{1}B$ 所成的角，
即

$\angle B_{1}DB=\angle DB_{1}A=30^\circ$ ，
所以在

$\rm{Rt}\Delta BDB_{1}$ 中，

$BB_{1}=AA_{1}=1$ ，

$BD=\sqrt{3},{B}_{1}D=2$ ，
在

$\rm{Rt}\Delta ADB_{1}$ 中，

$DB_{1}=2$ ，

$AD=1,A{B}_{1}=\sqrt{3}$ ，
所以

$AB=\sqrt{2}$ ，

$C{B}_{1}=\sqrt{2}$ ，

$AC=\sqrt{3}$ ，
故选项

$A$ ，

$C$ 错误，
由图易知，

$AB$ 在平面

$AB_{1}C_{1}D$ 上的射影在

$AB_{1}$ 上，
所以

$\angle B_{1}AB$ 为

$AB$ 与平面

$AB_{1}C_{1}D$ 所成的角，
在

$\rm{Rt}\Delta ABB_{1}$ 中，

$\sin \angle {B}_{1}AB=\dfrac{B{B}_{1}}{A{B}_{1}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，
故选项

$B$ 错误，
如图，连接

$B_{1}C$ ，

则

$B_{1}D$ 在平面

$BB_{1}C_{1}C$ 上的射影为

$B_{1}C$ ，
所以

$\angle DB_{1}C$ 为

$B_{1}D$ 与平面

$BB_{1}C_{1}C$ 所成的角，
在

$Rt$ △

$DB_{1}C$ 中，

${B}_{1}C=\sqrt{2}=DC$ ，所以

$\angle DB_{1}C=45^\circ$ ，
所以选项

$D$ 正确，
故选：

$D$ ．
点评：本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．

2022年高考数学甲卷-文8<-->2022年高考数学甲卷-文10

全网搜索"2022年高考数学甲卷-文9"相关

相关知识

无相关信息

学习笔记（共有 0 条）