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2022年高考数学甲卷-文7<-->2022年高考数学甲卷-文9
（5分）当$x=1$时，函数$f(x)=a\ln x+\dfrac{b}{x}$取得最大值$-2$，则$f\prime$（2）$=($ )
A．$-1$ B．$-\dfrac{1}{2}$ C．$\dfrac{1}{2}$ D．1
分析：由已知求得$b$，再由题意可得$f\prime$（1）$=0$求得$a$，得到函数解析式，求其导函数，即可求得$f\prime$（2）．
解：由题意$f$（1）$=b=-2$，则$f(x)=a\ln x-\dfrac{2}{x}$，
则$f\prime (x)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{2}{{x}^{2}}=\dfrac{ax+2}{{x}^{2}}$，
$\because$当$x=1$时函数取得最值，可得$x=1$也是函数的一个极值点，
$\therefore f\prime$（1）$=a+2=0$，即$a=-2$．
$\therefore f\prime (x)=\dfrac{-2x+2}{{x}^{2}}$，
易得函数在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty )$上单调递减，
故$x=1$处，函数取得极大值，也是最大值，
则$f\prime$（2）$=\dfrac{-2\times 2+2}{{2}^{2}}=-\dfrac{1}{2}$．
故选：$B$．
点评：本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．
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