2022年高考数学甲卷-文8

（5分）当

$x=1$ 时，函数

$f(x)=a\ln x+\dfrac{b}{x}$ 取得最大值

$-2$ ，则

$f\prime$ （2）

$=($ 　　)
A．

$-1$ B．

$-\dfrac{1}{2}$ C．

$\dfrac{1}{2}$ D．1
分析：由已知求得

$b$ ，再由题意可得

$f\prime$ （1）

$=0$ 求得

$a$ ，得到函数解析式，求其导函数，即可求得

$f\prime$ （2）．
解：由题意

$f$ （1）

$=b=-2$ ，则

$f(x)=a\ln x-\dfrac{2}{x}$ ，
则

$f\prime (x)=\dfrac{a}{x}+\dfrac{2}{{x}^{2}}=\dfrac{ax+2}{{x}^{2}}$ ，

$\because$ 当

$x=1$ 时函数取得最值，可得

$x=1$ 也是函数的一个极值点，

$\therefore f\prime$ （1）

$=a+2=0$ ，即

$a=-2$ ．

$\therefore f\prime (x)=\dfrac{-2x+2}{{x}^{2}}$ ，
易得函数在

$(0,1)$ 上单调递增，在

$(1,+\infty )$ 上单调递减，
故

$x=1$ 处，函数取得极大值，也是最大值，
则

$f\prime$ （2）

$=\dfrac{-2\times 2+2}{{2}^{2}}=-\dfrac{1}{2}$ ．
故选：

$B$ ．
点评：本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．

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