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2021年高考数学浙江20<-->2021年高考数学浙江22
21．（15分）如图，已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2．
（Ⅰ）求抛物线的方程：
（Ⅱ）设过点F的直线交抛物线于A，B两点，若斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且满足|RN|2=|PN|⋅|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围．
分析：（Ⅰ）根据题意求得p，进而求得抛物线方程；
（Ⅱ）设直线AB:y=k(x−1)，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得两根之和及两根之积，设直线AM及直线BM方程，将它们分别与直线l方程y=2(x−t)联立，可得点R及点Q的横坐标，再根据题意，可得(k−ktk−2)2=k2(1+t)23k2+4，化简将含t的式子用k表示，进而得到关于t的不等式，解出即可．
解：（Ⅰ）依题意，p=2，故抛物线的方程为y2=4x；
（Ⅱ）由题意得，直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB:y=k(x−1)，
将直线AB方程代入抛物线方程可得，k2x2−(2k2+4)x+k2=0，
则由韦达定理有，xA+xB=2+4k2,xAxB=1，则yAyB=−4，
设直线AM:y=k1(x+1)，其中k1=yAxA+1，设直线BM:y=k2(x+1)，其中k2=yBxB+1，
则k1+k2=yAxA+1+yBxB+1=yAxB+yA+yBxA+yB(xA+1)(xB+1)=k(xA−1)xB+k(xA−1)+k(xB−1)xA+k(xB−1)(xA+1)(xB+1)=0(xA+1)(xB+1)=0，
k1k2=yAyB(xA+1)(xB+1)=−41+2+4k2+1=−k21+k2，
设直线l:y=2(x−t)，
联立{y=2(x−t)y=k(x−1)，可得xR=k−2tk−2，则|xR−t|=|k−2tk−2−t|=|k−ktk−2|，
联立{y=2(x−t)y=k1(x+1)，可得xP=k1+2t2−k1，则|xP−t|=|k1+2t2−k1−t|=|k1+k1t2−k1|，
同理可得，xQ=k2+2t2−k2,|xQ−t|=|k2+k2t2−k2|，
又|RN|2=|PN|⋅|QN|，
∴|k−ktk−2|2=|k1+k1t2−k1⋅k2+k2t2−k2|，即(k−ktk−2)2=k2(1+t)23k2+4，
∴(1+t)2(t−1)2=3k2+4(k−2)2=3(k−2)2+12(k−2)+16(k−2)2=16(k−2)2+12k−2+3=(4k−2+32)2+34⩾34(t≠1)，
∴4(t2+2t+1)⩾3(t2−2t+1)，即t2+14t+1⩾0，解得t⩾4√3−7或t⩽−7−4√3(t≠1)；
当直线AB的斜率不存在时，则直线AB:x=1，A(1,2)，B(1,−2)，M(−1,0)，
∴直线MA的方程为y=x+1，直线MB的方程为y=−x−1，
设直线l:y=2(x−t)，则P(1+2t,2+2t)，Q(2t−13,−2t+23)，R(1,2−2t)，N(t,0)，
又|RN|2=|PN|⋅|QN|，故(1−t)2+(2−2t)2=√(1+t)2+(2+2t)2⋅√(2t−13−t)2+(−2t+23)2，
解得t满足(−∞,−7−4√3]⋃[4√3−7,1)⋃(1,+∞)．
∴直线l在x轴上截距的取值范围为(−∞,−7−4√3]⋃[4√3−7,1)⋃(1,+∞)．
点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题．
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