2021年高考数学浙江16

16．（6分）已知椭圆

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点

$F_{1}(-c,0)$ ，

$F_{2}(c$ ，

$0)(c>0)$ ．若过

$F_{1}$ 的直线和圆

$(x-\dfrac{1}{2}c)^{2}+y^{2}=c^{2}$ 相切，与椭圆的第一象限交于点

$P$ ，且

$PF_{2}\bot x$ 轴，则该直线的斜率是 ____，椭圆的离心率是 ____．
分析：由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离与半径相等，由此可求出直线的斜率

$k$ ，利用斜率与

$\tan \angle PF_{1}F_{2}$ 相等，得到

$a$ 与

$c$ 之间的关系，再求出离心率．
解：直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；
由直线过

$F_{1}$ ，设直线的方程为

$y=k(x+c)$ ，

$\because$ 直线和圆

$(x-\dfrac{1}{2}c)^{2}+y^{2}=c^{2}$ 相切，

$\therefore$ 圆心

$(\dfrac{1}{2}c,0)$ 到直线的距离与半径相等，

$\therefore$

$\dfrac{\vert k\cdot \dfrac{c}{2}-0+kc\vert }{\sqrt{{k}^{2}+1}}=c$ ，解得

$k=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ ，
将

$x=c$ 代入

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ ，可得

$P$ 点坐标为

$P(c,\dfrac{{b}^{2}}{a})$ ，

$\because$

$\tan \angle P{F}_{1}{F}_{2}=\dfrac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}=\dfrac{\dfrac{{b}^{2}}{a}}{2c}=k=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2ac}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1-{e}^{2}}{2e}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ ，

$\therefore$

$e=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ ．
故答案为：

$\dfrac{2\sqrt{5}}{5},\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ ．
点评：本题考查了椭圆、圆的简单几何性质，以及点到直线的距离公式，需要学生熟练掌握公式，是中档题．

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