2021年高考数学浙江15

15．（6分）袋中有4个红球，

$m$ 个黄球，

$n$ 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为

$\xi$ ，若取出的两个球都是红球的概率为

$\dfrac{1}{6}$ ，一红一黄的概率为

$\dfrac{1}{3}$ ，则

$m-n=$ ____，

$E(\xi )=$ ____．
分析：根据取出的两个球都是红球的概率为

$\dfrac{1}{6}$ ，一红一黄的概率为

$\dfrac{1}{3}$ ，得到关于

$m$ ，

$n$ 的方程，然后求出

$m$ ，

$n$ 的值，得到

$m-n$ 的值；先确定

$\xi$ 的可能取值，求出相应的概率，由数学期望的计算公式求解即可．
解：由题意，

$P(\xi =2)=\dfrac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{m+n+4}^{2}}=\dfrac{1}{6}=\dfrac{6}{36}$ ，
又一红一黄的概率为

$\dfrac{{C}_{4}^{1}{C}_{m}^{1}}{{C}_{m+n+4}^{2}}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{12}{36}$ ，
所以

${C}_{m+n+4}^{2}=36,{C}_{m}^{1}=3$ ，
解得

$m=3$ ，

$n=2$ ，故

$m-n=1$ ；
由题意，

$\xi$ 的可能取值为0，1，2，
所以

$P(\xi =0)=\dfrac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{9}^{2}}=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}$ ，

$P(\xi =1)=\dfrac{{C}_{4}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{9}^{2}}=\dfrac{20}{36}=\dfrac{10}{18}$ ，

$P(\xi =2)=\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{18}$ ，
所以

$E(\xi )=0\times \dfrac{5}{18}+1\times \dfrac{10}{18}+2\times \dfrac{3}{18}=\dfrac{8}{9}$ ．
故答案为：1；

$\dfrac{8}{9}$ ．
点评：本题考查了古典概型的概率，组合数公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望，考查了运算能力，属于基础题．

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