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2021年高考数学浙江16

  2022-05-03 08:25:50  

16.(6分)已知椭圆$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$,焦点$F_{1}(-c,0)$,$F_{2}(c$,$0)(c>0)$.若过$F_{1}$的直线和圆$(x-\dfrac{1}{2}c)^{2}+y^{2}=c^{2}$相切,与椭圆的第一象限交于点$P$,且$PF_{2}\bot x$轴,则该直线的斜率是 ____,椭圆的离心率是 ____.
分析:由直线与圆相切,可得圆心到直线的距离与半径相等,由此可求出直线的斜率$k$,利用斜率与$\tan \angle PF_{1}F_{2}$相等,得到$a$与$c$之间的关系,再求出离心率.
解:直线斜率不存在时,直线与圆不相切,不符合题意;
由直线过$F_{1}$,设直线的方程为$y=k(x+c)$,
$\because$直线和圆$(x-\dfrac{1}{2}c)^{2}+y^{2}=c^{2}$相切,
$\therefore$圆心$(\dfrac{1}{2}c,0)$到直线的距离与半径相等,
$\therefore$$\dfrac{\vert k\cdot \dfrac{c}{2}-0+kc\vert }{\sqrt{{k}^{2}+1}}=c$,解得$k=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,
将$x=c$代入$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$,可得$P$点坐标为$P(c,\dfrac{{b}^{2}}{a})$,
$\because$$\tan \angle P{F}_{1}{F}_{2}=\dfrac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}=\dfrac{\dfrac{{b}^{2}}{a}}{2c}=k=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,
$\therefore$$\dfrac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2ac}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,$\therefore$$\dfrac{1-{e}^{2}}{2e}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,
$\therefore$$e=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
故答案为:$\dfrac{2\sqrt{5}}{5},\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
点评:本题考查了椭圆、圆的简单几何性质,以及点到直线的距离公式,需要学生熟练掌握公式,是中档题.

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