2021年高考数学浙江16 |
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2022-05-03 08:25:50 |
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16.(6分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点F1(−c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆(x−12c)2+y2=c2相切,与椭圆的第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是 ____,椭圆的离心率是 ____. 分析:由直线与圆相切,可得圆心到直线的距离与半径相等,由此可求出直线的斜率k,利用斜率与tan∠PF1F2相等,得到a与c之间的关系,再求出离心率. 解:直线斜率不存在时,直线与圆不相切,不符合题意; 由直线过F1,设直线的方程为y=k(x+c), ∵直线和圆(x−12c)2+y2=c2相切, ∴圆心(12c,0)到直线的距离与半径相等, ∴|k⋅c2−0+kc|√k2+1=c,解得k=2√55, 将x=c代入x2a2+y2b2=1,可得P点坐标为P(c,b2a), ∵tan∠PF1F2=PF2F1F2=b2a2c=k=2√55, ∴a2−c22ac=2√55,∴1−e22e=2√55, ∴e=√55. 故答案为:2√55,√55. 点评:本题考查了椭圆、圆的简单几何性质,以及点到直线的距离公式,需要学生熟练掌握公式,是中档题.
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