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2021年高考数学浙江16

  2022-05-03 08:25:50  

16.(6分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦点F1(c,0)F2(c0)(c>0).若过F1的直线和圆(x12c)2+y2=c2相切,与椭圆的第一象限交于点P,且PF2x轴,则该直线的斜率是 ____,椭圆的离心率是 ____.
分析:由直线与圆相切,可得圆心到直线的距离与半径相等,由此可求出直线的斜率k,利用斜率与tanPF1F2相等,得到ac之间的关系,再求出离心率.
解:直线斜率不存在时,直线与圆不相切,不符合题意;
由直线过F1,设直线的方程为y=k(x+c)
直线和圆(x12c)2+y2=c2相切,
圆心(12c,0)到直线的距离与半径相等,
|kc20+kc|k2+1=c,解得k=255
x=c代入x2a2+y2b2=1,可得P点坐标为P(c,b2a)
tanPF1F2=PF2F1F2=b2a2c=k=255
a2c22ac=2551e22e=255
e=55
故答案为:255,55
点评:本题考查了椭圆、圆的简单几何性质,以及点到直线的距离公式,需要学生熟练掌握公式,是中档题.

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