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2021年高考数学浙江13<-->2021年高考数学浙江15
14．（6分）在$\Delta ABC$中，$\angle B=60\circ$，$AB=2$，$M$是$BC$的中点，$AM=2\sqrt{3}$，则$AC=$____；$\cos \angle MAC=$____．
分析：在$\Delta ABM$、$\Delta ABC$和$\Delta AMC$中用余弦定理即可解决此题．
解：在$\Delta ABM$中：$AM^{2}=BA^{2}+BM^{2}-2BA\cdot BM\cos 60\circ$，$\therefore (2\sqrt{3})^{2}=2^{2}+BM^{2}-2\times 2\cdot BM\cdot \dfrac{1}{2}$，$\therefore BM^{2}-2BM-8=0$，解得：$BM=4$或$-2$（舍去）．
$\because$点$M$是$BC$中点，$\therefore MC=4$，$BC=8$，在$\Delta ABC$中：$AC^{2}=2^{2}+8^{2}-2\times 2\times 8\cos 60\circ =52$，$\therefore AC=2\sqrt{13}$；
在$\Delta AMC$中：$\cos \angle MAC=\dfrac{(2\sqrt{3})^{2}+(2\sqrt{13})^{2}-{4}^{2}}{2\times 2\sqrt{3}{\times 2\sqrt{13}}}=\dfrac{2\sqrt{39}}{13}$．
故答案为：$2\sqrt{13}$；$\dfrac{2\sqrt{39}}{13}$．
点评：本题考查余弦定理应用，考查数学运算能力，属于中档题．
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