2021年高考数学浙江14

14．（6分）在

$\Delta ABC$ 中，

$\angle B=60\circ$ ，

$AB=2$ ，

$M$ 是

$BC$ 的中点，

$AM=2\sqrt{3}$ ，则

$AC=$ ____；

$\cos \angle MAC=$ ____．
分析：在

$\Delta ABM$ 、

$\Delta ABC$ 和

$\Delta AMC$ 中用余弦定理即可解决此题．
解：在

$\Delta ABM$ 中：

$AM^{2}=BA^{2}+BM^{2}-2BA\cdot BM\cos 60\circ$ ，

$\therefore (2\sqrt{3})^{2}=2^{2}+BM^{2}-2\times 2\cdot BM\cdot \dfrac{1}{2}$ ，

$\therefore BM^{2}-2BM-8=0$ ，解得：

$BM=4$ 或

$-2$ （舍去）．

$\because$ 点

$M$ 是

$BC$ 中点，

$\therefore MC=4$ ，

$BC=8$ ，在

$\Delta ABC$ 中：

$AC^{2}=2^{2}+8^{2}-2\times 2\times 8\cos 60\circ =52$ ，

$\therefore AC=2\sqrt{13}$ ；
在

$\Delta AMC$ 中：

$\cos \angle MAC=\dfrac{(2\sqrt{3})^{2}+(2\sqrt{13})^{2}-{4}^{2}}{2\times 2\sqrt{3}{\times 2\sqrt{13}}}=\dfrac{2\sqrt{39}}{13}$ ．
故答案为：

$2\sqrt{13}$ ；

$\dfrac{2\sqrt{39}}{13}$ ．
点评：本题考查余弦定理应用，考查数学运算能力，属于中档题．

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