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2021年高考数学浙江8

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8．（4分）已知

$\alpha$ ，

$\beta$ ，

$r$ 是互不相同的锐角，则在

$\sin \alpha \cos \beta$ ，

$\sin \beta \cos \gamma$ ，

$\sin \gamma \cos \alpha$ 三个值中，大于

$\dfrac{1}{2}$ 的个数的最大值是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
分析：首先利用基本不等式确定

$\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha$ 的取值范围，确定个数的上限，然后利用特殊角确定满足题意的个数即可．
解：由基本不等式可得：

$\sin \alpha \cos \beta \leqslant \dfrac{{\sin }^{2}\alpha +{\cos }^{2}\beta }{2}$ ，

$\sin \beta \cos \gamma \leqslant \dfrac{{\sin }^{2}\beta +{\cos }^{2}\gamma }{2}$ ，

$\sin \gamma \cos \alpha \leqslant \dfrac{{\sin }^{2}\gamma +{\cos }^{2}\alpha }{2}$ ，
三式相加，可得：

$\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha \leqslant \dfrac{3}{2}$ ，
很明显

$\sin \alpha \cos \beta$ ，

$\sin \beta \cos \gamma$ ，

$\sin \gamma \cos \alpha$ 不可能均大于

$\dfrac{1}{2}$ ．
取

$\alpha =30\circ$ ，

$\beta =60\circ$ ，

$\gamma =45\circ$ ，
则

$\sin \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2},\sin \beta \cos \gamma =\dfrac{\sqrt{6}}{4}>\dfrac{1}{2},\sin \gamma \cos \alpha =\dfrac{\sqrt{6}}{4}>\dfrac{1}{2}$ ，
则三式中大于

$\dfrac{1}{2}$ 的个数的最大值为2，
故选：

$C$ ．
点评：本题主要考查三角函数的性质，基本不等式求最值的方法，同角三角函数基本关系等知识，属于难题．

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