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2021年高考数学浙江7<-->2021年高考数学浙江9
8．（4分）已知$\alpha$，$\beta$，$r$是互不相同的锐角，则在$\sin \alpha \cos \beta$，$\sin \beta \cos \gamma$，$\sin \gamma \cos \alpha$三个值中，大于$\dfrac{1}{2}$的个数的最大值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
分析：首先利用基本不等式确定$\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha$ 的取值范围，确定个数的上限，然后利用特殊角确定满足题意的个数即可．
解：由基本不等式可得：$\sin \alpha \cos \beta \leqslant \dfrac{{\sin }^{2}\alpha +{\cos }^{2}\beta }{2}$，$\sin \beta \cos \gamma \leqslant \dfrac{{\sin }^{2}\beta +{\cos }^{2}\gamma }{2}$，$\sin \gamma \cos \alpha \leqslant \dfrac{{\sin }^{2}\gamma +{\cos }^{2}\alpha }{2}$，
三式相加，可得：$\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha \leqslant \dfrac{3}{2}$，
很明显$\sin \alpha \cos \beta$，$\sin \beta \cos \gamma$，$\sin \gamma \cos \alpha$ 不可能均大于$\dfrac{1}{2}$．
取$\alpha =30\circ$，$\beta =60\circ$，$\gamma =45\circ$，
则$\sin \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2},\sin \beta \cos \gamma =\dfrac{\sqrt{6}}{4}>\dfrac{1}{2},\sin \gamma \cos \alpha =\dfrac{\sqrt{6}}{4}>\dfrac{1}{2}$，
则三式中大于$\dfrac{1}{2}$ 的个数的最大值为2，
故选：$C$．
点评：本题主要考查三角函数的性质，基本不等式求最值的方法，同角三角函数基本关系等知识，属于难题．
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