2021年高考数学浙江7

7．（4分）已知函数

$f(x)=x^{2}+\dfrac{1}{4}$ ，

$g(x)=\sin x$ ，则图象为如图的函数可能是(　　)

A．

$y=f(x)+g(x)-\dfrac{1}{4}$ B．

$y=f(x)-g(x)-\dfrac{1}{4}$
C．

$y=f(x)g(x)$ D．

$y=\dfrac{g(x)}{f(x)}$
分析：可以判断所求函数为奇函数，利用函数的奇偶性可排除选项

$A$ ，

$B$ ；利用函数在

$(0,\dfrac{\pi }{4})$ 上的单调性可判断选项

$C$ ，

$D$ ．
解：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，
因为

$f(x)=x^{2}+\dfrac{1}{4}$ 为偶函数，

$g(x)=\sin x$ 为奇函数，
函数

$y=f(x)+g(x)-\dfrac{1}{4}=x^{2}+\sin x$ 为非奇非偶函数，故选项

$A$ 错误；
函数

$y=f(x)-g(x)-\dfrac{1}{4}=x^{2}-\sin x$ 为非奇非偶函数，故选项

$B$ 错误；
函数

$y=f(x)g(x)=(x^{2}+\dfrac{1}{4})\sin x$ ，则

$y'=2x\sin x+(x^{2}+\dfrac{1}{4})\cos x>0$ 对

$x\in (0,\dfrac{\pi }{4})$ 恒成立，
则函数

$y=f(x)g(x)$ 在

$(0,\dfrac{\pi }{4})$ 上单调递增，故选项

$C$ 错误．
故选：

$D$ ．
点评：本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．

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