2021年高考数学浙江9

9．（4分）已知

$a$ ，

$b\in R$ ，

$ab>0$ ，函数

$f(x)=ax^{2}+b(x\in R)$ ．若

$f(s-t)$ ，

$f(s)$ ，

$f(s+t)$ 成等比数列，则平面上点

$(s,t)$ 的轨迹是(　　)
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
分析：利用等比中项的定义得到

$f(s)^{2}=f(s-t)f(s+t)$ ，代入解析式中整理化简，可得

$t^{2}(at^{2}-2as^{2}+2b)=0$ ，分两种情况分别求解轨迹方程，由此判断轨迹即可．
解：函数

$f(x)=ax^{2}+b$ ，因为

$f(s-t)$ ，

$f(s)$ ，

$f(s+t)$ 成等比数列，
则

$f^{2}(s)=f(s-t)f(s+t)$ ，即

$(as^{2}+b)^{2}=[a(s-t)^{2}+b][a(s+t)^{2}+b]$ ，
即

$a^{2}s^{4}+2abs^{2}+b^{2}=a^{2}[(s-t)^{2}(s+t)^{2}]+ab(s-t)^{2}+ab(s+t)^{2}+b^{2}$ ，
整理可得

$a^{2}t^{4}-2a^{2}s^{2}t^{2}+2abt^{2}=0$ ，
因为

$a\ne 0$ ，故

$at^{4}-2as^{2}t^{2}+2bt^{2}=0$ ，即

$t^{2}(at^{2}-2as^{2}+2b)=0$ ，
所以

$t=0$ 或

$at^{2}-2as^{2}+2b=0$ ，
当

$t=0$ 时，点

$(s,t)$ 的轨迹是直线；
当

$at^{2}-2as^{2}+2b=0$ ，即

$\dfrac{a{s}^{2}}{b}-\dfrac{a{t}^{2}}{2b}=1$ ，因为

$ab>0$ ，故点

$(s,t)$ 的轨迹是双曲线．
综上所述，平面上点

$(s,t)$ 的轨迹是直线或双曲线．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查了等比中项的应用，动点轨迹方程的求解，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．

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