2021年高考数学新高考Ⅰ-18

（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有

$A$ ，

$B$ 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．

$A$ 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；

$B$ 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答

$A$ 类问题的概率为0.8，能正确回答

$B$ 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答

$A$ 类问题，记

$X$ 为小明的累计得分，求

$X$ 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
分析：（1）由已知可得，

$X$ 的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；
（2）由（1）可得

$E(X)$ ，若小明先回答

$B$ 类问题，记

$Y$ 为小明的累计得分，

$Y$ 的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得

$E(Y)$ ，比较

$E(X)$ 与

$E(Y)$ 的大小，即可得出结论．
解：（1）由已知可得，

$X$ 的所有可能取值为0，20，100，
则

$P(X=0)=1-0.8=0.2$ ，

$P(X=20)=0.8\times (1-0.6)=0.32$

$P(X=100)=0.8\times 0.6=0.48$ ，
所以

$X$ 的分布列为：

$X$	0	20	100
$P$	0.2	0.32	0.48

（2）由（1）可知小明先回答

$A$ 类问题累计得分的期望为

$E(X)=0\times 0.2+20\times 0.32+100\times 0.48=54.4$ ，
若小明先回答

$B$ 类问题，记

$Y$ 为小明的累计得分，
则

$Y$ 的所有可能取值为0，80，100，

$P(Y=0)=1-0.6=0.4$ ，

$P(Y=80)=0.6\times (1-0.8)=0.12$ ，

$P(Y=100)=0.6\times 0.8=0.48$ ，
则

$Y$ 的期望为

$E(Y)=0\times 0.4+80\times 0.12+100\times 0.48=57.6$ ，
因为

$E(Y)>E(X)$ ，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答

$B$ 类问题．
点评：本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．

相关知识

统计

学习笔记（共有 0 条）