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2021年高考数学新高考Ⅰ-17

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（10分）已知数列

$\{a_{n}\}$ 满足

$a_{1}=1$ ，

${{a}_{n+1}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}_{n}}+1,n, \\ {{a}_{n}}+2,n\cdot \\ \end{array} \right.$
（1）记

$b_{n}=a_{2n}$ ，写出

$b_{1}$ ，

$b_{2}$ ，并求数列

$\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求

$\{a_{n}\}$ 的前20项和．
分析：（1）由数列

$\{a_{n}\}$ 的通项公式可求得

$a_{2}$ ，

$a_{4}$ ，从而可得求得

$b_{1}$ ，

$b_{2}$ ，由

$b_{n}-b_{n-1}=3$ 可得数列

$\{b_{n}\}$ 是等差数列，从而可求得数列

$\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）由数列

$\{a_{n}\}$ 的通项公式可得数列

$\{a_{n}\}$ 的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．
解：（1）因为

$a_{1}=1$ ，

${{a}_{n+1}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}_{n}}+1,n \\ {{a}_{n}}+2,n \\ \end{array} \right.$ ，
所以

$a_{2}=a_{1}+1=2$ ，

$a_{3}=a_{2}+2=4$ ，

$a_{4}=a_{3}+1=5$ ，
所以

$b_{1}=a_{2}=2$ ，

$b_{2}=a_{4}=5$ ，

$b_{n}-b_{n-1}=a_{2n}-a_{2n-2}=a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}=1+2=3$ ，
所以数列

$\{b_{n}\}$ 是以

$b_{1}=2$ 为首项，以3为公差的等差数列，
所以

$b_{n}=2+3(n-1)=3n-1$ ．
（2）由（1）可得

$a_{2n}=3n-1$ ，

$n\in N*$ ，
则

$a_{2n-1}=a_{2n-2}+2=3(n-1)-1+2=3n-2$ ，

$n\geqslant 2$ ，
当

$n=1$ 时，

$a_{1}=1$ 也适合上式，
所以

$a_{2n-1}=3n-2$ ，

$n\in N*$ ，
所以数列

$\{a_{n}\}$ 的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则

$\{a_{n}\}$ 的前20项和为

$a_{1}+a_{2}+...+a_{20}=(a_{1}+a_{3}+\ldots +a_{19})+(a_{2}+a_{4}+\ldots +a_{20})=10+\dfrac{10\times 9}{2}\times 3+10\times 2+\dfrac{10\times 9}{2}\times 3=300$ ．
点评：本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．

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