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2021年高考数学上海春20

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20．（16分）已知函数

$f(x)=\sqrt{\vert x+a\vert -a}-x$ ．
（1）若

$a=1$ ，求函数的定义域；
（2）若

$a\ne 0$ ，若

$f(ax)=a$ 有2个不同实数根，求

$a$ 的取值范围；
（3）是否存在实数

$a$ ，使得函数

$f(x)$ 在定义域内具有单调性？若存在，求出

$a$ 的取值范围．
分析：（1）把

$a=1$ 代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；
（2）

$f(ax)=a\Leftrightarrow \sqrt{\vert ax+a\vert -a}=ax+a$ ，设

$ax+a=t\geqslant 0$ ，得

$a=t-t^{2}$ ，

$t\geqslant 0$ ，求得等式右边关于

$t$ 的函数的值域可得

$a$ 的取值范围；
（3）分

$x\geqslant -a$ 与

$x<-a$ 两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数

$f(x)$ 在定义域内具有单调性的

$a$ 的范围．
解：（1）当

$a=1$ 时，

$f(x)=\sqrt{\vert x+1\vert -1}-x$ ，
由

$\vert x+1\vert -1\geqslant 0$ ，得

$\vert x+1\vert \geqslant 1$ ，解得

$x\leqslant -2$ 或

$x\geqslant 0$ ．

$\therefore$ 函数的定义域为

$(-\infty$ ，

$-2]\bigcup{[}0$ ，

$+\infty )$ ；
（2）

$f(ax)=\sqrt{\vert ax+a\vert -a}-ax$ ，

$f(ax)=a \Leftrightarrow \sqrt{\vert ax+a\vert -a}=ax+a$ ，
设

$ax+a=t\geqslant 0$ ，

$\therefore$

$\sqrt{t-a}=t$ 有两个不同实数根，整理得

$a=t-t^{2}$ ，

$t\geqslant 0$ ，

$\therefore a=-(t-\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{1}{4}$ ，

$t\geqslant 0$ ，当且仅当

$0\leqslant a<\dfrac{1}{4}$ 时，方程有2个不同实数根，
又

$a\ne 0$ ，

$\therefore a$ 的取值范围是

$(0,\dfrac{1}{4})$ ；
（3）当

$x\geqslant -a$ 时，

$f(x)=\sqrt{\vert x+a\vert -a}-x=\sqrt{x}-x=-(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{1}{4}$ ，在

$[\dfrac{1}{4}$ ，

$+\infty )$ 上单调递减，
此时需要满足

$-a\geqslant \dfrac{1}{4}$ ，即

$a\leqslant -\dfrac{1}{4}$ ，函数

$f(x)$ 在

$[-a$ ，

$+\infty )$ 上递减；
当

$x<-a$ 时，

$f(x)=\sqrt{\vert x+a\vert -a}-x=\sqrt{-x-2a}-x$ ，在

$(-\infty$ ，

$-2a]$ 上递减，

$\because a\leqslant -\dfrac{1}{4}<0$ ，

$\therefore -2a>-a>0$ ，即当

$a\leqslant -\dfrac{1}{4}$ 时，函数

$f(x)$ 在

$(-\infty ,-a)$ 上递减．
综上，当

$a\in (-\infty$ ，

$-\dfrac{1}{4}]$ 时，函数

$f(x)$ 在定义域

$R$ 上连续，且单调递减．
点评：本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．

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