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2021年高考数学上海春18<-->2021年高考数学上海春20
19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|−|PB|=20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60∘处，求双曲线标准方程和P点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|−|QB|=30千米，|QC|−|QD|=10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1∘)
分析：（1）求出a，c，b的值即可求得双曲线方程，求出直线OP的方程，与双曲线方程联立，即可求得P点坐标；
（2）分别求出以A、B为焦点，以C，D为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q的坐标，从而求得|OQ|，及Q点位置．
解：（1）由题意可得a=10，c=20，所以b2=300，
所以双曲线的标准方程为x2100−y2300=1，
直线OP:y=√33x，联立双曲线方程，可得x=15√22，y=5√62，
即点P的坐标为(15√22，5√62)．
（2）①|QA|−|QB|=30，则a=15，c=20，所以b2=175，
双曲线方程为x2225−y2175=1；
②|QC|−|QD|=10，则a=5，c=15，所以b2=200，
所以双曲线方程为y225−x2200=1，
两双曲线方程联立，得Q(√1440047，√297547)，
所以|OQ|≈19米，Q点位置北偏东66∘．
点评：本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．
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