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2021年高考数学上海春20<-->返回列表
21．（18分）已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n}\geqslant 0$，对任意$n\geqslant 2$，$a_{n}$和$a_{n+1}$中存在一项使其为另一项与$a_{n-1}$的等差中项．
（1）已知$a_{1}=5$，$a_{2}=3$，$a_{4}=2$，求$a_{3}$的所有可能取值；
（2）已知$a_{1}=a_{4}=a_{7}=0$，$a_{2}$、$a_{5}$、$a_{8}$为正数，求证：$a_{2}$、$a_{5}$、$a_{8}$成等比数列，并求出公比$q$；
（3）已知数列中恰有3项为0，即$a_{r}=a_{s}=a_{t}=0$，$2<r<s<t$，且$a_{1}=1$，$a_{2}=2$，求$a_{r+1}+a_{s+1}+a_{t+1}$的最大值．
分析：（1）根据$a_{n}$和$a_{n+1}$中存在一项使其为另一项与$a_{n-1}$的等差中项建立等式，然后将$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{4}$的值代入即可；
（2）根据递推关系求出$a_{5}$、$a_{8}$，然后根据等比数列的定义进行判定即可；
（3）分别求出$a_{r+1}$，$a_{s+1}$，$a_{t+1}$的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．
解：（1）由题意，$2a_{n}=a_{n+1}+a_{n-1}$或$2a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$，
$\therefore 2a_{2}=a_{3}+a_{1}$解得$a_{3}=1$，$2a_{3}=a_{2}+a_{1}$解得$a_{3}=4$，经检验，$a_{3}=1$，
（2）证明：$\because a_{1}=a_{4}=a_{7}=0$，$\therefore a_{3}=2a_{2}$，或${a}_{3}=\dfrac{{a}_{2}}{2}$，经检验，${a}_{3}=\dfrac{{a}_{2}}{2}$；
$\therefore$${a}_{5}=\dfrac{{a}_{3}}{2}=\dfrac{{a}_{2}}{4}$，或${a}_{5}=-{a}_{1}=-\dfrac{{a}_{2}}{2}$（舍$)$，$\therefore$${a}_{5}=\dfrac{{a}_{2}}{4}$；
$\therefore$${a}_{6}=\dfrac{{a}_{5}}{2}=\dfrac{{a}_{2}}{8}$，或${a}_{6}=-{a}_{5}=-\dfrac{{a}_{2}}{4}$（舍$)$，$\therefore$${a}_{6}=\dfrac{{a}_{2}}{8}$；
$\therefore$${a}_{8}=\dfrac{{a}_{6}}{2}=\dfrac{{a}_{2}}{16}$，或${a}_{8}=-{a}_{6}=-\dfrac{{a}_{2}}{8}$（舍$)$，$\therefore$${a}_{8}=\dfrac{{a}_{2}}{16}$；
综上，$a_{2}$、$a_{5}$、$a_{8}$成等比数列，公比为$\dfrac{1}{4}$；
（3）由$2a_{n}=a_{n+1}+a_{n-1}$或$2a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$，可知$\dfrac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=1$或$\dfrac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=-\dfrac{1}{2}$，
由第（2）问可知，$a_{r}=0$，则$a_{r-2}=2a_{r-1}$，即$a_{r-1}-a_{r-2}=-a_{r-1}$，
$\therefore a_{r}=0$，则${a}_{r+1}=\dfrac{1}{2}{a}_{r-1}=-\dfrac{1}{2}({a}_{r-1}-{a}_{r-2})=-\dfrac{1}{2}\cdot (-\dfrac{1}{2})^{i}\cdot {1}^{r-3-i}\cdot ({a}_{2}-{a}_{1})=-\dfrac{1}{2}\cdot (-\dfrac{1}{2})^{i},i\in N*$，
$\therefore$$({a}_{r+1})_{max}=\dfrac{1}{4}$，
同理，${a}_{s+1}=-\dfrac{1}{2}\cdot (-\dfrac{1}{2})^{j}\cdot {1}^{s-2-r-j}\cdot ({a}_{r+1}-{a}_{r})=-\dfrac{1}{2}\cdot (-\dfrac{1}{2})^{j}\cdot \dfrac{1}{4},j\in {N}^{*}$，
$\therefore$$({a}_{s+1})_{max}=\dfrac{1}{16}$，同理，$({a}_{t+1})_{max}=\dfrac{1}{64}$，$\therefore a_{r+1}+a_{s+1}+a_{t+1}$的最大值$\dfrac{21}{64}$．
点评：本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．
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