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2021年高考数学上海春21

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21．（18分）已知数列

$\{a_{n}\}$ 满足

$a_{n}\geqslant 0$ ，对任意

$n\geqslant 2$ ，

$a_{n}$ 和

$a_{n+1}$ 中存在一项使其为另一项与

$a_{n-1}$ 的等差中项．
（1）已知

$a_{1}=5$ ，

$a_{2}=3$ ，

$a_{4}=2$ ，求

$a_{3}$ 的所有可能取值；
（2）已知

$a_{1}=a_{4}=a_{7}=0$ ，

$a_{2}$ 、

$a_{5}$ 、

$a_{8}$ 为正数，求证：

$a_{2}$ 、

$a_{5}$ 、

$a_{8}$ 成等比数列，并求出公比

$q$ ；
（3）已知数列中恰有3项为0，即

$a_{r}=a_{s}=a_{t}=0$ ，

$2<r<s<t$ ，且

$a_{1}=1$ ，

$a_{2}=2$ ，求

$a_{r+1}+a_{s+1}+a_{t+1}$ 的最大值．
分析：（1）根据

$a_{n}$ 和

$a_{n+1}$ 中存在一项使其为另一项与

$a_{n-1}$ 的等差中项建立等式，然后将

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$a_{4}$ 的值代入即可；
（2）根据递推关系求出

$a_{5}$ 、

$a_{8}$ ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；
（3）分别求出

$a_{r+1}$ ，

$a_{s+1}$ ，

$a_{t+1}$ 的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．
解：（1）由题意，

$2a_{n}=a_{n+1}+a_{n-1}$ 或

$2a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$ ，

$\therefore 2a_{2}=a_{3}+a_{1}$ 解得

$a_{3}=1$ ，

$2a_{3}=a_{2}+a_{1}$ 解得

$a_{3}=4$ ，经检验，

$a_{3}=1$ ，
（2）证明：

$\because a_{1}=a_{4}=a_{7}=0$ ，

$\therefore a_{3}=2a_{2}$ ，或

${a}_{3}=\dfrac{{a}_{2}}{2}$ ，经检验，

${a}_{3}=\dfrac{{a}_{2}}{2}$ ；

$\therefore$

${a}_{5}=\dfrac{{a}_{3}}{2}=\dfrac{{a}_{2}}{4}$ ，或

${a}_{5}=-{a}_{1}=-\dfrac{{a}_{2}}{2}$ （舍

$)$ ，

$\therefore$

${a}_{5}=\dfrac{{a}_{2}}{4}$ ；

$\therefore$

${a}_{6}=\dfrac{{a}_{5}}{2}=\dfrac{{a}_{2}}{8}$ ，或

${a}_{6}=-{a}_{5}=-\dfrac{{a}_{2}}{4}$ （舍

$)$ ，

$\therefore$

${a}_{6}=\dfrac{{a}_{2}}{8}$ ；

$\therefore$

${a}_{8}=\dfrac{{a}_{6}}{2}=\dfrac{{a}_{2}}{16}$ ，或

${a}_{8}=-{a}_{6}=-\dfrac{{a}_{2}}{8}$ （舍

$)$ ，

$\therefore$

${a}_{8}=\dfrac{{a}_{2}}{16}$ ；
综上，

$a_{2}$ 、

$a_{5}$ 、

$a_{8}$ 成等比数列，公比为

$\dfrac{1}{4}$ ；
（3）由

$2a_{n}=a_{n+1}+a_{n-1}$ 或

$2a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$ ，可知

$\dfrac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=1$ 或

$\dfrac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=-\dfrac{1}{2}$ ，
由第（2）问可知，

$a_{r}=0$ ，则

$a_{r-2}=2a_{r-1}$ ，即

$a_{r-1}-a_{r-2}=-a_{r-1}$ ，

$\therefore a_{r}=0$ ，则

${a}_{r+1}=\dfrac{1}{2}{a}_{r-1}=-\dfrac{1}{2}({a}_{r-1}-{a}_{r-2})=-\dfrac{1}{2}\cdot (-\dfrac{1}{2})^{i}\cdot {1}^{r-3-i}\cdot ({a}_{2}-{a}_{1})=-\dfrac{1}{2}\cdot (-\dfrac{1}{2})^{i},i\in N*$ ，

$\therefore$

$({a}_{r+1})_{max}=\dfrac{1}{4}$ ，
同理，

${a}_{s+1}=-\dfrac{1}{2}\cdot (-\dfrac{1}{2})^{j}\cdot {1}^{s-2-r-j}\cdot ({a}_{r+1}-{a}_{r})=-\dfrac{1}{2}\cdot (-\dfrac{1}{2})^{j}\cdot \dfrac{1}{4},j\in {N}^{*}$ ，

$\therefore$

$({a}_{s+1})_{max}=\dfrac{1}{16}$ ，同理，

$({a}_{t+1})_{max}=\dfrac{1}{64}$ ，

$\therefore a_{r+1}+a_{s+1}+a_{t+1}$ 的最大值

$\dfrac{21}{64}$ ．
点评：本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．

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