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2021年高考数学上海春17<-->2021年高考数学上海春19
18．（14分）已知$A$、$B$、$C$为$\Delta ABC$的三个内角，$a$、$b$、$c$是其三条边，$a=2$，$\cos C=-\dfrac{1}{4}$．
（1）若$\sin A=2\sin B$，求$b$、$c$；
（2）若$\cos (A-\dfrac{\pi }{4})=\dfrac{4}{5}$，求$c$．
分析：（1）由已知利用正弦定理即可求解$b$的值；利用余弦定理即可求解$c$的值．
（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得$\cos A$，$\sin A$，$\sin C$的值，进而根据正弦定理可得$c$的值．
解：（1）因为$\sin A=2\sin B$，可得$a=2b$，
又$a=2$，可得$b=1$，
由于$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\dfrac{{2}^{2}+{1}^{2}-{c}^{2}}{2\times 2\times 1}=-\dfrac{1}{4}$，可得$c=\sqrt{6}$．
（2）因为$\cos (A-\dfrac{\pi }{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos A+\sin A)=\dfrac{4}{5}$，
可得$\cos A+\sin A=\dfrac{4\sqrt{2}}{5}$，
又$\cos ^{2}A+\sin ^{2}A=1$，
可解得$\cos A=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$，$\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$，或$\sin A=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$，$\cos A=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$，
因为$\cos C=-\dfrac{1}{4}$，可得$\sin C=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，$\tan C=-\sqrt{15}$，可得$C$为钝角，
若$\sin A=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$，$\cos A=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$，可得$\tan A=7$，可得$\tan B=-\tan (A+C)=\dfrac{\tan A+\tan C}{\tan A\tan C-1}=\dfrac{7-\sqrt{15}}{7\times (-\sqrt{15})-1}<0$，
可得$B$为钝角，这与$C$为钝角矛盾，舍去，
所以$\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$，由正弦定理$\dfrac{2}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$，可得$c=\dfrac{5\sqrt{30}}{2}$．
点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
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