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2021年高考数学上海春18

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18．（14分）已知

$A$ 、

$B$ 、

$C$ 为

$\Delta ABC$ 的三个内角，

$a$ 、

$b$ 、

$c$ 是其三条边，

$a=2$ ，

$\cos C=-\dfrac{1}{4}$ ．
（1）若

$\sin A=2\sin B$ ，求

$b$ 、

$c$ ；
（2）若

$\cos (A-\dfrac{\pi }{4})=\dfrac{4}{5}$ ，求

$c$ ．
分析：（1）由已知利用正弦定理即可求解

$b$ 的值；利用余弦定理即可求解

$c$ 的值．
（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得

$\cos A$ ，

$\sin A$ ，

$\sin C$ 的值，进而根据正弦定理可得

$c$ 的值．
解：（1）因为

$\sin A=2\sin B$ ，可得

$a=2b$ ，
又

$a=2$ ，可得

$b=1$ ，
由于

$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\dfrac{{2}^{2}+{1}^{2}-{c}^{2}}{2\times 2\times 1}=-\dfrac{1}{4}$ ，可得

$c=\sqrt{6}$ ．
（2）因为

$\cos (A-\dfrac{\pi }{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos A+\sin A)=\dfrac{4}{5}$ ，
可得

$\cos A+\sin A=\dfrac{4\sqrt{2}}{5}$ ，
又

$\cos ^{2}A+\sin ^{2}A=1$ ，
可解得

$\cos A=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$ ，

$\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$ ，或

$\sin A=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$ ，

$\cos A=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$ ，
因为

$\cos C=-\dfrac{1}{4}$ ，可得

$\sin C=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ ，

$\tan C=-\sqrt{15}$ ，可得

$C$ 为钝角，
若

$\sin A=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$ ，

$\cos A=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$ ，可得

$\tan A=7$ ，可得

$\tan B=-\tan (A+C)=\dfrac{\tan A+\tan C}{\tan A\tan C-1}=\dfrac{7-\sqrt{15}}{7\times (-\sqrt{15})-1}<0$ ，
可得

$B$ 为钝角，这与

$C$ 为钝角矛盾，舍去，
所以

$\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$ ，由正弦定理

$\dfrac{2}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$ ，可得

$c=\dfrac{5\sqrt{30}}{2}$ ．
点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

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