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2021年高考数学上海春17

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17．（14分）四棱锥

$P-ABCD$ ，底面为正方形

$ABCD$ ，边长为4，

$E$ 为

$AB$ 中点，

$PE\bot$ 平面

$ABCD$ ．
（1）若

$\Delta PAB$ 为等边三角形，求四棱锥

$P-ABCD$ 的体积；
（2）若

$CD$ 的中点为

$F$ ，

$PF$ 与平面

$ABCD$ 所成角为

$45\circ$ ，求

$PC$ 与

$AD$ 所成角的大小．

分析：（1）由

$V=\dfrac{1}{3}PE\cdot {{S}_{ABCD}}$ ，代入相应数据，进行运算，即可；
（2）由

$PE\bot$ 平面

$ABCD$ ，知

$\angle PFE=45\circ$ ，进而有

$PE=FE=4$ ，

$PB=2\sqrt{5}$ ，由

$AD//BC$ ，知

$\angle PCB$ 或其补角即为所求，可证

$BC\bot$ 平面

$PAB$ ，从而有

$BC\bot PB$ ，最后在

$\rm{Rt}\Delta PBC$ 中，由

$\tan \angle PCB=\dfrac{PB}{BC}$ ，得解．
解：（1）

$\because \Delta PAB$ 为等边三角形，且

$E$ 为

$AB$ 中点，

$AB=4$ ，

$\therefore PE=2\sqrt{3}$ ，
又

$PE\bot$ 平面

$ABCD$ ，

$\therefore$ 四棱锥

$P-ABCD$ 的体积

$V=\dfrac{1}{3}PE\cdot {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times {{4}^{2}}=\dfrac{32\sqrt{3}}{3}$ ．
（2）

$\because PE\bot$ 平面

$ABCD$ ，

$\therefore \angle PFE$ 为

$PF$ 与平面

$ABCD$ 所成角为

$45\circ$ ，即

$\angle PFE=45\circ$ ，

$\therefore \Delta PEF$ 为等腰直角三角形，

$\because E$ ，

$F$ 分别为

$AB$ ，

$CD$ 的中点，

$\therefore PE=FE=4$ ，

$\therefore PB=\sqrt{P{E}^{2}+B{E}^{2}}=2\sqrt{5}$ ，

$\because AD//BC$ ，

$\therefore \angle PCB$ 或其补角即为

$PC$ 与

$AD$ 所成角，

$\because PE\bot$ 平面

$ABCD$ ，

$\therefore PE\bot BC$ ，
又

$BC\bot AB$ ，

$PE\bigcap AB=E$ ，

$PE$ 、

$AB\subset$ 平面

$PAB$ ，

$\therefore BC\bot$ 平面

$PAB$ ，

$\therefore BC\bot PB$ ，
在

$\rm{Rt}\Delta PBC$ 中，

$\tan \angle PCB=\dfrac{PB}{BC}=\dfrac{2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ，
故

$PC$ 与

$AD$ 所成角的大小为

$\arctan \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ．
点评：本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

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