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2021年高考数学上海春14<-->2021年高考数学上海春16
15．（5分）已知函数y=f(x)的定义域为R，下列是f(x)无最大值的充分条件是( )
A．f(x)为偶函数且关于点(1,1)对称
B．f(x)为偶函数且关于直线x=1对称
C．f(x)为奇函数且关于点(1,1)对称
D．f(x)为奇函数且关于直线x=1对称
分析：根据题意，依次判断选项：对于ABD，举出反例可得三个选项错误，对于C，利用反证法可得其正确．
解：根据题意，依次判断选项：
对于A，f(x)=cosπx2+1，f(x)为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A错误，
对于B，f(x)=cos(πx)，f(x)为偶函数且关于直线x=1对称，存在最大值，B错误，
对于C，假设f(x)有最大值，设其最大值为M，其最高点的坐标为(a,M)，
f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，则f(x)的图象存在最低点(−a,−M)，
又由f(x)的图象关于点(1,1)对称，则(−a,−M)关于点(1,1)对称的点为(2+a,2+M)，
与最大值为M相矛盾，则此时f(x)无最大值，C正确，
对于D，f(x)=sinπx2，f(x)为奇函数且关于直线x=1对称，D错误，
故选：C．
点评：本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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