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2021年高考数学上海春12

12.(5分)已知$\theta >0$,存在实数$\varphi$,使得对任意$n\in N^*$,$\cos (n\theta +\varphi )<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,则$\theta$的最小值是____.
分析:在单位圆中分析可得$\theta >\dfrac{\pi }{3}$,由$\dfrac{2\pi }{\theta }\in N^*$,即$\theta =\dfrac{2\pi }{k}$,$k\in N^*$,即可求得$\theta$的最小值.
解:在单位圆中分析,由题意可得$n\theta +\varphi$的终边要落在图中阴影部分区域(其中$\angle AOx=\angle BOx=\dfrac{\pi }{6})$,
所以$\theta >\angle AOB=\dfrac{\pi }{3}$,
因为对任意$n\in N^*$都成立,
所以$\dfrac{2\pi }{\theta }\in N^*$,即$\theta =\dfrac{2\pi }{k}$,$k\in N^*$,
同时$\theta >\dfrac{\pi }{3}$,所以$\theta$的最小值为$\dfrac{2\pi }{5}$.
故答案为:$\dfrac{2\pi }{5}$.

点评:本题主要考查三角函数的最值,考查数形结合思想,属于中档题.
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