2021年高考数学上海春11

11．（5分）已知椭圆

$x^{2}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(0<b<1)$ 的左、右焦点为

$F_{1}$ 、

$F_{2}$ ，以

$O$ 为顶点，

$F_{2}$ 为焦点作抛物线交椭圆于

$P$ ，且

$\angle PF_{1}F_{2}=45\circ$ ，则抛物线的准线方程是____．
分析：先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线

$PF_{1}$ 的方程并与抛物线方程联立，求出点

$P$ 的坐标，由此可得

$PF_{2}\bot F_{1}F_{2}$ ，进而可以求出

$PF_{1}$ ，

$PF_{2}$ 的长度，再由椭圆的定义即可求解．
解：设

$F_{1}(-c,0)$ ，

$F_{2}(c,0)$ ，则抛物线

$y^{2}=4cx$ ，
直线

$PF_{1}:y=x+c$ ，联立方程组

$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4cx}\\ {y=x+c}\end{array}\right.$ ，解得

$x=c$ ，

$y=2c$ ，
所以点

$P$ 的坐标为

$(c,2c)$ ，所以

$PF_{2}\bot F_{1}F_{2}$ ，又

$P{{F}_{2}}={{F}_{2}}{{F}_{1}}=2c,P{{F}_{1}}=2\sqrt{2}c$
所以

$PF{}_{1}+P{F}_{2}=(2+2\sqrt{2})c=2a=2$ ，
则

$c=\sqrt{2}-1$ ，
所以抛物线的准线方程为：

$x=-c=1-\sqrt{2}$ ，
故答案为：

$x=1-\sqrt{2}$ ．
点评：本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．

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