2021年高考数学上海春8

8．（5分）已知函数

$f(x)=3^{x}+\dfrac{a}{{3}^{x}+1}(a>0)$ 的最小值为5，则

$a=$ ____．
分析：利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成

$f(x)=3^{x}+1+\dfrac{a}{{3}^{x}+1}-1$ ，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．
解：

$f(x)=3^{x}+\dfrac{a}{{3}^{x}+1}=3^{x}+1+\dfrac{a}{{3}^{x}+1}-1\geqslant 2\sqrt{a}-1=5$ ，
所以

$a=9$ ，经检验，

$3^{x}=2$ 时等号成立．
故答案为：9．
点评：本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．

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