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2021年高考数学上海春8

8.(5分)已知函数$f(x)=3^{x}+\dfrac{a}{{3}^{x}+1}(a>0)$的最小值为5,则$a=$____.
分析:利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”,该题只需将函数解析式变形成$f(x)=3^{x}+1+\dfrac{a}{{3}^{x}+1}-1$,然后利用基本不等式求解即可,注意等号成立的条件.
解:$f(x)=3^{x}+\dfrac{a}{{3}^{x}+1}=3^{x}+1+\dfrac{a}{{3}^{x}+1}-1\geqslant 2\sqrt{a}-1=5$,
所以$a=9$,经检验,$3^{x}=2$时等号成立.
故答案为:9.
点评:本题主要考查了基本不等式的应用,以及整体的思想,解题的关键是构造积为定值,属于基础题.
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