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2021年高考数学上海19

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19．（14分）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长

$4%$ ．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的

$18%$ ？
分析：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项

$a_{1}=1.1$ ，公差

$d=0.05$ ，再利用等差数列的前

$n$ 项和公式求解即可．
（2）假设今年第一季度往后的第

$n(n\in N^{*})$ 季度的利润首次超过该季度营业额的

$18%$ ，则

$0.16\times (1+4%)^{n}>(1.1+0.05n)\cdot 18%$ ，令

$f(n)=0.16\times (1+4%)^{n}-(1.1+0.05n)\cdot 18%$ ，

$(n\in N^{*})$ ，递推作差可得当

$1\leqslant n\leqslant 9$ 时，

$f(n)$ 递减；当

$n\geqslant 10$ 时，

$f(n)$ 递增，注意到

$f$ （1）

$<0$ ，所以若

$f(n)>0$ ，则只需考虑

$n\geqslant 10$ 的情况即可，再验证出

$f(24)<0$ ，

$f(25)>0$ ，即可得到利润首次超过该季度营业额的

$18%$ 的时间．
解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，
则首项

$a_{1}=1.1$ ，公差

$d=0.05$ ，

$\therefore S_{20}=20a_{1}+\dfrac{20(20-1)}{2}d=20\times 1.1+10\times 19\times 0.05=31.5$ ，
即营业额前20季度的和为31.5亿元．
（2）假设今年第一季度往后的第

$n(n\in N^{*})$ 季度的利润首次超过该季度营业额的

$18%$ ，
则

$0.16\times (1+4%)^{n}>(1.1+0.05n)\cdot 18%$ ，
令

$f(n)=0.16\times (1+4%)^{n}-(1.1+0.05n)\cdot 18%$ ，

$(n\in N^{*})$ ，
即要解

$f(n)>0$ ，
则当

$n\geqslant 2$ 时，

$f(n)-f(n-1)=0.0064\cdot (1+4%)^{n-1}-0.009$ ，
令

$f(n)-f(n-1)>0$ ，解得：

$n\geqslant 10$ ，
即当

$1\leqslant n\leqslant 9$ 时，

$f(n)$ 递减；当

$n\geqslant 10$ 时，

$f(n)$ 递增，
由于

$f$ （1）

$<0$ ，因此

$f(n)>0$ 的解只能在

$n\geqslant 10$ 时取得，
经检验，

$f(24)<0$ ，

$f(25)>0$ ，
所以今年第一季度往后的第25个季度，即2027年第二季度的利润首次超过该季度营业额的

$18%$ ．
点评：本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题．

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