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2021年高考数学上海19<-->2021年高考数学上海21
20．（16分）已知Γ:x22+y2=1，F1，F2是其左、右交焦点，直线l过点P(m，0)(m⩽−√2)，交椭圆于A，B两点，且A，B在x轴上方，点A在线段BP上．
（1）若B是上顶点，|→BF1|=|→PF1|，求m的值；
（2）若→F1A⋅→F2A=13，且原点O到直线l的距离为4√1515，求直线l的方程；
（3）证明：对于任意m<−√2，使得→F1A//→F2B的直线有且仅有一条．
分析：（1）利用椭圆的方程，求出a，b，c的值，求出|BF1|和|PF1|，由|→BF1|=|→PF1|，即可求出m的值；
（2）设点A(√2cosθ，sinθ)，利用平面向量数量积的坐标表示化简→F1A⋅→F2A=13，求出点A的坐标，设直线l的方程为y=kx+√63k+√63(k>0)，然后利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出k的值即可得到答案．
（3）联立直线l与椭圆的方程，得到韦达定理，利用向量平行的坐标表示，化简可得x1−x2=−21+2k2，然后再利用韦达定理化简|x1−x2|，由此得到关于k和m的等式，整理可得k2=−14−2m2，利用m的取值范围以及题中的条件，即可证明．
解：（1）因为Γ的方程：x22+y2=1，
所以a2=2，b2=1，
所以c2=a2−b2=1，
所以F1(−1,0)，F2(1,0)，
若B为Γ的上顶点，则B(0,1)，
所以|BF1|=√1+1=√2，|PF1|=−1−m，
又|BF1|=|PF1|，
所以m=−1−√2；
（2）设点A(√2cosθ，sinθ)，
则→F1A⋅→F2A=(√2cosθ+1)(√2cosθ−1)+sin2θ=2cos2θ−1+sin2θ=13，
因为A在线段BP上，横坐标小于0，
解得cosθ=−√33，
故A(−√63,√63)，
设直线l的方程为y=kx+√63k+√63(k>0)，
由原点O到直线l的距离为4√1515，
则d=|√63k+√63|√1+k2=4√1515，化简可得3k2−10k+3=0，解得k=3或k=13，
故直线l的方程为y=13x+4√69或y=3x+4√63（舍去，无法满足m<−√2)，
所以直线l的方程为y=13x+4√69；
（3）联立方程组{y=kx−kmx22+y2=1，可得(1+2k2)x2−4k2mx+2k2m2−2=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=4k2m1+2k2,x1x2=2k2m2−21+2k2，
因为→F1A//→F2B，
所以(x2−1)y1=(x1+1)y2，又y=kx−km，
故化简为x1−x2=−21+2k2，
又|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√16k2−8k2m2+81+2k2=|−21+2k2|，
两边同时平方可得，4k2−2k2m2+1=0，
整理可得k2=−14−2m2，
当m<−√2时，k2=−14−2m2>0，
因为点A，B在x轴上方，
所以k有且仅有一个解，
故对于任意m<−√2，使得→F1A//→F2B的直线有且仅有一条．
点评：本题考查了平面向量与圆锥曲线的综合应用，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题．
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