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2021年高考数学上海18

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18．（14分）在

$\Delta ABC$ 中，已知

$a=3$ ，

$b=2c$ ．
（1）若

$A=\dfrac{2\pi }{3}$ ，求

$S_{\Delta ABC}$ ．
（2）若

$2\sin B-\sin C=1$ ，求

$C_{\Delta ABC}$ ．
分析：（1）由余弦定理求得

$c^{2}$ ，从而求得

$\Delta ABC$ 面积；
（2）由正、余弦定理求得

$b$ 、

$c$ 值，从而求得

$\Delta ABC$ 周长．
解：（1）由余弦定理得

$\cos A=-\dfrac{1}{2}=\dfrac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\dfrac{5{c}^{2}-9}{4{c}^{2}}$ ，
解得

$c^{2}=\dfrac{9}{7}$ ，

$\therefore S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 2{c}^{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{14}$ ；
（2）

$\because b=2c$ ，

$\therefore$ 由正弦定理得

$\sin B=2\sin C$ ，又

$\because 2\sin B-\sin C=1$ ，

$\therefore \sin C=\dfrac{1}{3}$ ，

$\sin B=\dfrac{2}{3}$ ，

$\therefore \sin C<\sin B$ ，

$\therefore C<B$ ，

$\therefore C$ 为锐角，

$\therefore \cos C=\sqrt{1-(\dfrac{1}{3})^{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ ．
由余弦定理得：

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ ，又

$\because a=3$ ，

$b=2c$ ，

$\therefore c^{2}=9+4c^{2}-8\sqrt{2}c$ ，得：

$3c^{2}-8\sqrt{2}c+9=0$ ，解得：

$c=\dfrac{4\sqrt{2}\pm \sqrt{5}}{3}$ ．
当

$c=\dfrac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{3}$ 时，

$b=\dfrac{8\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{3}$ ，

$\therefore C_{\Delta ABC}=3+4\sqrt{2}+\sqrt{5}$ ；
当

$c=\dfrac{4\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3}$ 时，

$b=\dfrac{8\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3}$ ，

$\therefore C_{\Delta ABC}=3+4\sqrt{2}-\sqrt{5}$ ．
点评：本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．

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