2021年高考数学上海17

17．（14分）如图，在长方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，已知

$AB=BC=2$ ，

$AA_{1}=3$ ．
（1）若

$P$ 是棱

$A_{1}D_{1}$ 上的动点，求三棱锥

$C-PAD$ 的体积；
（2）求直线

$AB_{1}$ 与平面

$ACC_{1}A_{1}$ 的夹角大小．

分析：（1）直接由三棱锥的体积公式求解即可；
（2）易知直线

$AB_{1}$ 与平面

$ACC_{1}A_{1}$ 所成的角为

$\angle OAB_{1}$ ，求出其正弦值，再由反三角表示即可．
解：（1）如图，在长方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

${{V}_{C-PAD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta PAD}}\cdot {{h}_{C-PAD}}=\dfrac{1}{3}\times \left( \dfrac{1}{2}\times 2\times 3 \right)\times 2=2$ ；
（2）

连接

$A_{1}C_{1}\bigcap B_{1}D_{1}=O$ ，

$\because AB=BC$ ，

$\therefore$ 四边形

$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 为正方形，则

$OB_{1}\bot OA_{1}$ ，
又

$AA_{1}\bot OB_{1}$ ，

$OA_{1}\bigcap AA_{1}=A_{1}$ ，

$\therefore OB_{1}\bot$ 平面

$ACC_{1}A_{1}$ ，

$\therefore$ 直线

$AB_{1}$ 与平面

$ACC_{1}A_{1}$ 所成的角为

$\angle OAB_{1}$ ，

$\therefore$

$\sin \angle OA{B}_{1}=\dfrac{O{B}_{1}}{A{B}_{1}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}{2}}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{26}}{13}$ ．

$\therefore$ 直线

$AB_{1}$ 与平面

$ACC_{1}A_{1}$ 所成的角为

$\arcsin \dfrac{\sqrt{26}}{13}$ ．

点评：本题考查三棱锥体积的求法，考查线面角的求解，考查推理能力及运算能力，属于中档题．

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