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2021年高考数学上海15<-->2021年高考数学上海17
16．（5分）已知$x_{1}$，$y_{1}$，$x_{2}$，$y_{2}$，$x_{3}$，$y_{3}$，同时满足①$x_{1}<y_{1}$，$x_{2}<y_{2}$，$x_{3}<y_{3}$；②$x_{1}+y_{1}=x_{2}+y_{2}=x_{3}+y_{3}$；③$x_{1}y_{1}+x_{3}y_{3}=2x_{2}y_{2}$，以下哪个选项恒成立( )
A．$2x_{2}<x_{1}+x_{3}$ B．$2x_{2}>x_{1}+x_{3}$ C．$x_{2}^{2}<x_{1}x_{3}$ D．$x_{2}^{2}>x_{1}x_{3}$
分析：设$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=m-a}\\ {{y}_{1}=m+a}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=m-b}\\ {{y}_{2}=m+b}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=m-c}\\ {{y}_{3}=m+c}\end{array}\right.$，根据题意，则有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{c}^{2}=2{b}^{2}}\\ {{m}^{2}>{b}^{2}}\end{array}\right.$，可得$x_{1}+x_{3}-2x_{2}=2b-(a+c)$，通过求解$(2b)^{2}-(a+c)^{2}>0$，可得$x_{1}+x_{3}-2x_{2}=2b-(a+c)>0$，可得$A$正确，$B$错误；利用作差法可得$x_{1}x_{3}-x_{2}^{2}=(2b-a-c)m-\dfrac{(a-c)^{2}}{2}$，而上面已证$(2b-a-c)>0$，因无法知道$m$的正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断$CD$，即可得解．
解：设$x_{1}+y_{1}=x_{2}+y_{2}=x_{3}+y_{3}=2m$，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=m-a}\\ {{y}_{1}=m+a}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=m-b}\\ {{y}_{2}=m+b}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=m-c}\\ {{y}_{3}=m+c}\end{array}\right.$，
根据题意，应该有$\left\{\begin{array}{l}{a\ne b\ne c}\\ {a,b,c>0}\end{array}\right.$，
且$m^{2}-a^{2}+m^{2}-c^{2}=2(m^{2}-b^{2})>0$，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{c}^{2}=2{b}^{2}}\\ {{m}^{2}>{b}^{2}}\end{array}\right.$，
则$x_{1}+x_{3}-2x_{2}=(m-a)+(m-c)-2(m-b)=2b-(a+c)$，
因为$(2b)^{2}-(a+c)^{2}=2(a^{2}+c^{2})-(a+c)^{2}>0$，
所以$x_{1}+x_{3}-2x_{2}=2b-(a+c)>0$，
所以$A$项正确，$B$错误．
$x_{1}x_{3}-x_{2}^{2}=(m-a)(m-c)-(m-b)^{2}=(2b-a-c)m+ac-b^{2}=(2b-a-c)m-\dfrac{(a-c)^{2}}{2}$，而上面已证$(2b-a-c)>0$，
因为不知道$m$的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选：$A$．
点评：本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．
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