|
2021年高考数学上海14<-->2021年高考数学上海16
15．（5分）已知f(x)=3sinx+2，对任意的x1∈[0，π2]，都存在x2∈[0，π2]，使得f(x1)=2f(x2+θ)+2成立，则下列选项中，θ可能的值是( )
A．3π5 B．4π5 C．6π5 D．7π5
分析：由题意可知，x1∈[0，π2]，即sinx1∈[0，1]，可得f(x1)∈[2，5]，将存在任意的x1∈[0，π2]，都存在x2∈[0，π2]，使得f(x)=2f(x+θ)+2成立，转化为f(x2+θ)min⩽0，f(x2+θ)max⩾32，又由f(x)=3sinx+2，可得sin(x2+θ)min⩽−23，sin(x2+θ)max⩾−16，再将选项中的值，依次代入验证，即可求解．
解：∵，\dfrac{\pi }{2}]，
\therefore \sin x_{1}\in [0，1]，
\therefore f(x_{1})\in [2，5]，
\because都存在x_{2}\in [0，\dfrac{\pi }{2}]，使得f(x_{1})=2f(x_{2}+\theta )+2成立，
\therefore f(x_{2}+\theta )_{min}\leqslant 0，f({x}_{2}+\theta )_{max}\geqslant \dfrac{3}{2}，
\because f(x)=3\sin x+2，
\therefore\sin ({x}_{2}+\theta )_{min}\leqslant -\dfrac{2}{3}，\sin ({x}_{2}+\theta )_{max}\geqslant -\dfrac{1}{6}，
y=\sin x在x\in [\dfrac{\pi }{2},\dfrac{3\pi }{2}]上单调递减，
当\theta =\dfrac{3\pi }{5}时，{x}_{2}+\theta \in [\dfrac{3\pi }{5},\dfrac{11\pi }{10}]，
\therefore\sin ({x}_{2}+\theta )=\sin \dfrac{11\pi }{10}>\sin \dfrac{7\pi }{6}=-\dfrac{1}{2}，故A选项错误，
当\theta =\dfrac{4\pi }{5}时，{x}_{2}+\theta \in [\dfrac{4\pi }{5},\dfrac{13\pi }{10}]，
\therefore\sin ({x}_{2}+\theta )_{min}=\sin \dfrac{13\pi }{10}<\sin \dfrac{5\pi }{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<-\dfrac{2}{3}，
\sin ({x}_{2}+\theta )_{max}=\sin \dfrac{4\pi }{5}>0，故B选项正确，
当\theta =\dfrac{6\pi }{5}时，x_{2}+\theta \in [\dfrac{6\pi }{5},\dfrac{17\pi }{10}]，
\sin (x_{2}+\theta )_{max}=\sin \dfrac{6\pi }{5}<\sin \dfrac{13\pi }{12}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}<-\dfrac{1}{6}，故C选项错误，
当\theta =\dfrac{7\pi }{5}时，{x}_{2}+\theta \in [\dfrac{7\pi }{5},\dfrac{19\pi }{10}]，
\sin (x_{2}+\theta )_{max}=\sin \dfrac{19\pi }{10}<\sin \dfrac{23\pi }{12}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}<-\dfrac{1}{6}，故D选项错误．
故选：B．
点评：本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题．
2021年高考数学上海14<-->2021年高考数学上海16
全网搜索"2021年高考数学上海15"相关
|
