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2021年高考数学上海11<-->2021年高考数学上海13
12．（5分）已知$a_{i}\in N*(i=1$，2，$\ldots$，$9)$对任意的$k\in N*(2\leqslant k\leqslant 8)$，$a_{k}=a_{k-1}+1$或$a_{k}=a_{k+1}-1$中有且仅有一个成立，$a_{1}=6$，$a_{9}=9$，则$a_{1}+\ldots +a_{9}$的最小值为____．
分析：设$b_{k}=a_{k+1}-a_{k}$，由题意可得，$b_{k}$，$b_{k-1}$恰有一个为1，然后分两种情况分别求解$a_{1}+\ldots +a_{9}$的值，即可得到答案．
解：设$b_{k}=a_{k+1}-a_{k}$，由题意可得，$b_{k}$，$b_{k-1}$恰有一个为1，
如果$b_{1}=b_{3}=b_{5}=b_{7}=b_{9}=1$，那么$a_{1}=6$，$a_{2}=7$，$a_{3}\geqslant 1$，$a_{4}=a_{3}+1\geqslant 2$，
同样也有，$a_{5}\geqslant 1$，$a_{6}=a_{5}+1\geqslant 2$，$a_{7}\geqslant 1$，$a_{8}=a_{7}+1\geqslant 2$，
全部加起来至少是$6+7+1+2+1+2+1+2+9=31$；
如果$b_{2}=b_{4}=b_{6}=b_{8}=1$，那么$a_{8}=8$，$a_{2}\geqslant 1$，$a_{3}=a_{2}+1\geqslant 2$，
同样也有，$a_{4}\geqslant 1$，$a_{5}\geqslant 2$，$a_{6}\geqslant 1$，$a_{7}\geqslant 2$，
全部加起来至少是$6+1+2+1+2+1+2+8+9=32$．
综上所述，最小应该是31．
故答案为：31．
点评：本题考查了数列的概念的理解和应用，递推公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
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