2021年高考数学上海12

12．（5分）已知

$a_{i}\in N*(i=1$ ，2，

$\ldots$ ，

$9)$ 对任意的

$k\in N*(2\leqslant k\leqslant 8)$ ，

$a_{k}=a_{k-1}+1$ 或

$a_{k}=a_{k+1}-1$ 中有且仅有一个成立，

$a_{1}=6$ ，

$a_{9}=9$ ，则

$a_{1}+\ldots +a_{9}$ 的最小值为____．
分析：设

$b_{k}=a_{k+1}-a_{k}$ ，由题意可得，

$b_{k}$ ，

$b_{k-1}$ 恰有一个为1，然后分两种情况分别求解

$a_{1}+\ldots +a_{9}$ 的值，即可得到答案．
解：设

$b_{k}=a_{k+1}-a_{k}$ ，由题意可得，

$b_{k}$ ，

$b_{k-1}$ 恰有一个为1，
如果

$b_{1}=b_{3}=b_{5}=b_{7}=b_{9}=1$ ，那么

$a_{1}=6$ ，

$a_{2}=7$ ，

$a_{3}\geqslant 1$ ，

$a_{4}=a_{3}+1\geqslant 2$ ，
同样也有，

$a_{5}\geqslant 1$ ，

$a_{6}=a_{5}+1\geqslant 2$ ，

$a_{7}\geqslant 1$ ，

$a_{8}=a_{7}+1\geqslant 2$ ，
全部加起来至少是

$6+7+1+2+1+2+1+2+9=31$ ；
如果

$b_{2}=b_{4}=b_{6}=b_{8}=1$ ，那么

$a_{8}=8$ ，

$a_{2}\geqslant 1$ ，

$a_{3}=a_{2}+1\geqslant 2$ ，
同样也有，

$a_{4}\geqslant 1$ ，

$a_{5}\geqslant 2$ ，

$a_{6}\geqslant 1$ ，

$a_{7}\geqslant 2$ ，
全部加起来至少是

$6+1+2+1+2+1+2+8+9=32$ ．
综上所述，最小应该是31．
故答案为：31．
点评：本题考查了数列的概念的理解和应用，递推公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．

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