2021年高考数学上海11

11．（5分）已知抛物线

$y^{2}=2px(p>0)$ ，若第一象限的

$A$ ，

$B$ 在抛物线上，焦点为

$F$ ，

$\vert AF\vert =2$ ，

$\vert BF\vert =4$ ，

$\vert AB\vert =3$ ，求直线

$AB$ 的斜率为 ____．
分析：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线

$AB$ 的斜率即可．
解：如图所示，设抛物线的准线为

$l$ ，作

$AC\bot l$ 于点

$C$ ，

$BD\bot l$ 于点

$D$ ，

$AE\bot BD$ 于点

$E$ ，

由抛物线的定义，可得

$AC=AF=2$ ，

$BD=BF=4$ ，

$\therefore$

$BE=4?2=2,AE=\sqrt{A{B}^{2}?B{E}^{2}}=\sqrt{9?4}=\sqrt{5}$ ，

$\therefore$ 直线

$AB$ 的斜率

${k}_{AB}=\tan \angle ABE=\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ．
故答案为：

$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ．
点评：本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题．

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