2021年高考数学上海8

8．（5分）已知

$\{a_{n}\}$ 为无穷等比数列，

$a_{1}=3$ ，

$a_{n}$ 的各项和为9，

$b_{n}=a_{2n}$ ，则数列

$\{b_{n}\}$ 的各项和为____．
分析：设

$\{a_{n}\}$ 的公比为

$q$ ，由无穷递缩等比数列的求和公式，解方程可得

$q$ ，进而得到

$a_{n}$ ，

$b_{n}$ ，求得数列

$\{b_{n}\}$ 的首项和公比，再由无穷递缩等比数列的求和公式，可得所求和．
解：设

$\{a_{n}\}$ 的公比为

$q$ ，
由

$a_{1}=3$ ，

$a_{n}$ 的各项和为9，可得

$\dfrac{3}{1-q}=9$ ，
解得

$q=\dfrac{2}{3}$ ，
所以

$a_{n}=3\times (\dfrac{2}{3})^{n-1}$ ，

$b_{n}=a_{2n}=3\times (\dfrac{2}{3})^{2n-1}$ ，
可得数列

$\{b_{n}\}$ 是首项为2，公比为

$\dfrac{4}{9}$ 的等比数列，
则数列

$\{b_{n}\}$ 的各项和为

$\dfrac{2}{1-\dfrac{4}{9}}=\dfrac{18}{5}$ ．
故答案为：

$\dfrac{18}{5}$ ．
点评：本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

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