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2021年高考数学上海9

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9．（5分）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，

$AB$ 为上底面圆的一条直径，

$C$ 是下底面圆周上的一个动点，则

$ABC$ 的面积的取值范围为 ____．
分析：上顶面圆心记为

$O$ ，下底面圆心记为

$O'$ ，连结

$OC$ ，过点

$C$ 作

$CM\bot AB$ ，垂足为点

$M$ ，由于

$AB$ 为定值，则

$S_{\Delta ABC}$ 的大小随着

$CM$ 的长短变化而变化，
分别求解

$CM$ 的最大值和最小值，即可得到答案．
解：如图1，上底面圆心记为

$O$ ，下底面圆心记为

$O'$ ，

连结

$OC$ ，过点

$C$ 作

$CM\bot AB$ ，垂足为点

$M$ ，
则

${S}_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\times AB\times CM$ ，
根据题意，

$AB$ 为定值2，所以

$S_{\Delta ABC}$ 的大小随着

$CM$ 的长短变化而变化，
如图2所示，当点

$M$ 与点

$O$ 重合时，

$CM=OC=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$ ，
此时

$S_{\Delta ABC}$ 取得最大值为

$\dfrac{1}{2}\times 2\times \sqrt{5}=\sqrt{5}$ ；
如图3所示，当点

$M$ 与点

$B$ 重合，

$CM$ 取最小值2，
此时

$S_{\Delta ABC}$ 取得最小值为

$\dfrac{1}{2}\times 2\times 2=2$ ．
综上所述，

$S_{\Delta ABC}$ 的取值范围为

$[2,\sqrt{5}]$ ．
故答案为：

$[2,\sqrt{5}]$ ．

点评：本题考查了空间中的最值问题，将三角形面积的最值问题转化为求解线段

$CM$ 的最值问题进行求解是解题的关键，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．

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