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2021年高考数学乙卷-文21<-->2021年高考数学乙卷-文23
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系$xOy$中，$\odot C$的圆心为$C(2,1)$，半径为1．
（1）写出$\odot C$的一个参数方程；
（2）过点$F(4,1)$作$\odot C$的两条切线．以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
分析：（1）求出$\odot C$的标准方程，即可求得$\odot C$的参数方程；
（2）求出直角坐标系中的切线方程，再由$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$即可求解这两条切线的极坐标方程．
解：（1）$\odot C$的圆心为$C(2,1)$，半径为1，
则$\odot C$的标准方程为$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1$，
$\odot C$的一个参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\cos \theta }\\ {y=1+\sin \theta }\end{array}\right.(\theta$为参数）．
（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，
设切线方程为$y-1=k(x-4)$，即$kx-y-4k+1=0$，
圆心$C(2,1)$到切线的距离$d=\dfrac{\vert 2k-1-4k+1\vert }{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得$k=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
所以切线方程为$y=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x-4)+1$，
因为$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，
所以这两条切线的极坐标方程为$\rho \sin \theta =\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}(\rho \cos \theta -4)+1$．
点评：本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．
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