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2021年高考数学乙卷-文22

[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.(10分)在直角坐标系$xOy$中,$\odot C$的圆心为$C(2,1)$,半径为1.
(1)写出$\odot C$的一个参数方程;
(2)过点$F(4,1)$作$\odot C$的两条切线.以坐标原点为极点,$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
分析:(1)求出$\odot C$的标准方程,即可求得$\odot C$的参数方程;
(2)求出直角坐标系中的切线方程,再由$x=\rho \cos \theta$,$y=\rho \sin \theta$即可求解这两条切线的极坐标方程.
解:(1)$\odot C$的圆心为$C(2,1)$,半径为1,
则$\odot C$的标准方程为$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1$,
$\odot C$的一个参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\cos \theta }\\ {y=1+\sin \theta }\end{array}\right.(\theta$为参数).
(2)由题意可知两条切线方程斜率存在,
设切线方程为$y-1=k(x-4)$,即$kx-y-4k+1=0$,
圆心$C(2,1)$到切线的距离$d=\dfrac{\vert 2k-1-4k+1\vert }{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$,解得$k=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$,
所以切线方程为$y=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x-4)+1$,
因为$x=\rho \cos \theta$,$y=\rho \sin \theta$,
所以这两条切线的极坐标方程为$\rho \sin \theta =\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}(\rho \cos \theta -4)+1$.
点评:本题主要考查圆的参数方程,普通方程与极坐标方程的转化,考查运算求解能力,属于基础题.
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