2021年高考数学乙卷-文22

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系

$xOy$ 中，

$\odot C$ 的圆心为

$C(2,1)$ ，半径为1．
（1）写出

$\odot C$ 的一个参数方程；
（2）过点

$F(4,1)$ 作

$\odot C$ 的两条切线．以坐标原点为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
分析：（1）求出

$\odot C$ 的标准方程，即可求得

$\odot C$ 的参数方程；
（2）求出直角坐标系中的切线方程，再由

$x=\rho \cos \theta$ ，

$y=\rho \sin \theta$ 即可求解这两条切线的极坐标方程．
解：（1）

$\odot C$ 的圆心为

$C(2,1)$ ，半径为1，
则

$\odot C$ 的标准方程为

$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1$ ，

$\odot C$ 的一个参数方程为

$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\cos \theta }\\ {y=1+\sin \theta }\end{array}\right.(\theta$ 为参数）．
（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，
设切线方程为

$y-1=k(x-4)$ ，即

$kx-y-4k+1=0$ ，
圆心

$C(2,1)$ 到切线的距离

$d=\dfrac{\vert 2k-1-4k+1\vert }{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$ ，解得

$k=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，
所以切线方程为

$y=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x-4)+1$ ，
因为

$x=\rho \cos \theta$ ，

$y=\rho \sin \theta$ ，
所以这两条切线的极坐标方程为

$\rho \sin \theta =\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}(\rho \cos \theta -4)+1$ ．
点评：本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．

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