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2021年高考数学乙卷-文22<-->返回列表
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数$f(x)=\vert x-a\vert +\vert x+3\vert$．
（1）当$a=1$时，求不等式$f(x)\geqslant 6$的解集；
（2）若$f(x)>-a$，求$a$的取值范围．
分析：（1）将$a=1$代入$f(x)$中，根据$f(x)\geqslant 6$，利用零点分段法解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式可得$f(x)\geqslant \vert a+3\vert$，然后根据$f(x)>-a$，得到$\vert a+3\vert >-a$，求出$a$的取值范围．
解：（1）当$a=1$时，$f(x)=\vert x-1\vert +\vert x+3\vert =\left\{\begin{array}{l}{?2x?2,x\leqslant ?3}\\ {4,?3<x<1}\\ {2x+2,x\geqslant 1}\end{array}\right.$，
$\because f(x)\geqslant 6$，$\therefore$$\left\{\begin{array}{l}{x\leqslant ?3}\\ {?2x?2\geqslant 6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{?3<x<1\;}\\ {4\geqslant 6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x\geqslant 1}\\ {2x+2\geqslant 6}\end{array}\right.$，
$\therefore x\leqslant -4$或$x\geqslant 2$，
$\therefore$不等式的解集为$(-\infty$，$-4]\bigcup{[}2$，$+\infty )$．
（2）$f(x)=\vert x-a\vert +\vert x+3\vert \geqslant \vert x-a-x-3\vert =\vert a+3\vert$，
若$f(x)>-a$，则$\vert a+3\vert >-a$，
两边平方可得$a^{2}+6a+9>a^{2}$，解得$a>-\dfrac{3}{2}$，
即$a$的取值范围是$(-\dfrac{3}{2}$，$+\infty )$．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
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