2021年高考数学乙卷-文23

[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数

$f(x)=\vert x-a\vert +\vert x+3\vert$ ．
（1）当

$a=1$ 时，求不等式

$f(x)\geqslant 6$ 的解集；
（2）若

$f(x)>-a$ ，求

$a$ 的取值范围．
分析：（1）将

$a=1$ 代入

$f(x)$ 中，根据

$f(x)\geqslant 6$ ，利用零点分段法解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式可得

$f(x)\geqslant \vert a+3\vert$ ，然后根据

$f(x)>-a$ ，得到

$\vert a+3\vert >-a$ ，求出

$a$ 的取值范围．
解：（1）当

$a=1$ 时，

$f(x)=\vert x-1\vert +\vert x+3\vert =\left\{\begin{array}{l}{?2x?2,x\leqslant ?3}\\ {4,?3<x<1}\\ {2x+2,x\geqslant 1}\end{array}\right.$ ，

$\because f(x)\geqslant 6$ ，

$\therefore$

$\left\{\begin{array}{l}{x\leqslant ?3}\\ {?2x?2\geqslant 6}\end{array}\right.$ 或

$\left\{\begin{array}{l}{?3<x<1\;}\\ {4\geqslant 6}\end{array}\right.$ 或

$\left\{\begin{array}{l}{x\geqslant 1}\\ {2x+2\geqslant 6}\end{array}\right.$ ，

$\therefore x\leqslant -4$ 或

$x\geqslant 2$ ，

$\therefore$ 不等式的解集为

$(-\infty$ ，

$-4]\bigcup{[}2$ ，

$+\infty )$ ．
（2）

$f(x)=\vert x-a\vert +\vert x+3\vert \geqslant \vert x-a-x-3\vert =\vert a+3\vert$ ，
若

$f(x)>-a$ ，则

$\vert a+3\vert >-a$ ，
两边平方可得

$a^{2}+6a+9>a^{2}$ ，解得

$a>-\dfrac{3}{2}$ ，
即

$a$ 的取值范围是

$(-\dfrac{3}{2}$ ，

$+\infty )$ ．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．

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