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2021年高考数学乙卷-文21

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21．（12分）已知函数

$f(x)=x^{3}-x^{2}+ax+1$ ．
（1）讨论

$f(x)$ 的单调性；
（2）求曲线

$y=f(x)$ 过坐标原点的切线与曲线

$y=f(x)$ 的公共点的坐标．
分析：（1）对函数

$f(x)$ 求导，分

$a\geqslant \dfrac{1}{3}$ 及

$a<\dfrac{1}{3}$ 讨论导函数与零的关系，进而得出

$f(x)$ 的单调性情况；
（2）先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线

$y=f(x)$ 联立，即可求得公共点坐标．
解：（1）

$f\prime (x)=3x^{2}-2x+a$ ，△

$=4-12a$ ，
①当△

$\leqslant 0$ ，即

$a\geqslant \dfrac{1}{3}$ 时，由于

$f\prime (x)$ 的图象是开口向上的抛物线，故此时

$f\prime (x)\geqslant 0$ ，则

$f(x)$ 在

$R$ 上单调递增；
②当△

$>0$ ，即

$a<\dfrac{1}{3}$ 时，令

$f\prime (x)=0$ ，解得

${x}_{1}=\dfrac{1-\sqrt{1-3a}}{3},{x}_{2}=\dfrac{1+\sqrt{1-3a}}{3}$ ，
令

$f\prime (x)>0$ ，解得

$x<x_{1}$ 或

$x>x_{2}$ ，令

$f\prime (x)<0$ ，解得

$x_{1}<x<x_{2}$ ，

$\therefore f(x)$ 在

$(-\infty ,x_{1})$ ，

$(x_{2}$ ，

$+\infty )$ 单调递增，在

$(x_{1}$ ，

$x_{2})$ 单调递减；
综上，当

$a\geqslant \dfrac{1}{3}$ 时，

$f(x)$ 在

$R$ 上单调递增；当

$a<\dfrac{1}{3}$ 时，

$f(x)$ 在

$(-\infty ,\dfrac{1-\sqrt{1-3a}}{3}),(\dfrac{1+\sqrt{1-3a}}{3},+\infty )$ 单调递增，在

$(\dfrac{1-\sqrt{1-3a}}{3},\dfrac{1+\sqrt{1-3a}}{3})$ 单调递减．
（2）设曲线

$y=f(x)$ 过坐标原点的切线为

$l$ ，切点为

$({x}_{0},{{x}_{0}}^{3}-{{x}_{0}}^{2}+a{x}_{0}+1),{f}'({x}_{0})=3{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}+a$ ，
则切线方程为

$y-({{x}_{0}}^{3}-{{x}_{0}}^{2}+a{x}_{0}+1)=(3{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}+a)(x-{x}_{0})$ ，
将原点代入切线方程有，

$2{{x}_{0}}^{3}-{{x}_{0}}^{2}-1=0$ ，解得

$x_{0}=1$ ，

$\therefore$ 切线方程为

$y=(a+1)x$ ，
令

$x^{3}-x^{2}+ax+1=(a+1)x$ ，即

$x^{3}-x^{2}-x+1=0$ ，解得

$x=1$ 或

$x=-1$ ，

$\therefore$ 曲线

$y=f(x)$ 过坐标原点的切线与曲线

$y=f(x)$ 的公共点的坐标为

$(1,a+1)$ 和

$(-1,-a-1)$ ．
点评：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．

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