2021年高考数学乙卷-文20

20．（12分）已知抛物线

$C:y^{2}=2px(p>0)$ 的焦点

$F$ 到准线的距离为2．
（1）求

$C$ 的方程；
（2）已知

$O$ 为坐标原点，点

$P$ 在

$C$ 上，点

$Q$ 满足

$\overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}$ ，求直线

$OQ$ 斜率的最大值．
分析：（1）根据焦点

$F$ 到准线的距离为2求出

$p$ ，进而得到抛物线方程，
（2）设出点

$Q$ 的坐标，按照向量关系得出

$P$ 点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．
（1）解：由题意知，

$p=2$ ，

$\therefore y^{2}=4x$ ．
（2）由（1）知，抛物线

$C:y^{2}=4x$ ，

$F(1,0)$ ，
设点

$Q$ 的坐标为

$(m,n)$ ，
则

$\overrightarrow{QF}=(1-m,-n)$ ，

$\overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}=(9-9m,-9n)$

$\therefore P$ 点坐标为

$(10m-9,10n)$ ，
将点

$P$ 代入

$C$ 得

$100n^{2}=40m-36$ ，
整理得

$m=\dfrac{100{n}^{2}+36}{40}=\dfrac{25{n}^{2}+9}{10}$ ，

$\therefore$

$K=\dfrac{n}{m}=\dfrac{10n}{25{n}^{2}+9}=\dfrac{10}{25n+\dfrac{9}{n}}\leqslant \dfrac{1}{3}$ ，当

$n=\dfrac{3}{5}$ 时取最大值．
故答案为：

$\dfrac{1}{3}$ ．
点评：本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．

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