|
2021年高考数学乙卷-文19<-->2021年高考数学乙卷-文21
20．（12分）已知抛物线$C:y^{2}=2px(p>0)$的焦点$F$到准线的距离为2．
（1）求$C$的方程；
（2）已知$O$为坐标原点，点$P$在$C$上，点$Q$满足$\overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}$，求直线$OQ$斜率的最大值．
分析：（1）根据焦点$F$到准线的距离为2求出$p$，进而得到抛物线方程，
（2）设出点$Q$的坐标，按照向量关系得出$P$点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．
（1）解：由题意知，$p=2$，
$\therefore y^{2}=4x$．
（2）由（1）知，抛物线$C:y^{2}=4x$，$F(1,0)$，
设点$Q$的坐标为$(m,n)$，
则$\overrightarrow{QF}=(1-m,-n)$，
$\overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}=(9-9m,-9n)$
$\therefore P$点坐标为$(10m-9,10n)$，
将点$P$代入$C$得$100n^{2}=40m-36$，
整理得$m=\dfrac{100{n}^{2}+36}{40}=\dfrac{25{n}^{2}+9}{10}$，
$\therefore$$K=\dfrac{n}{m}=\dfrac{10n}{25{n}^{2}+9}=\dfrac{10}{25n+\dfrac{9}{n}}\leqslant \dfrac{1}{3}$，当$n=\dfrac{3}{5}$时取最大值．
故答案为：$\dfrac{1}{3}$．
点评：本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．
2021年高考数学乙卷-文19<-->2021年高考数学乙卷-文21
全网搜索"2021年高考数学乙卷-文20"相关
|
