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2021年高考数学乙卷-文19

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19．（12分）设

$\{a_{n}\}$ 是首项为1的等比数列，数列

$\{b_{n}\}$ 满足

$b_{n}=\dfrac{n{a}_{n}}{3}$ ，已知

$a_{1}$ ，

$3a_{2}$ ，

$9a_{3}$ 成等差数列．
（1）求

$\{a_{n}\}$ 和

$\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）记

$S_{n}$ 和

$T_{n}$ 分别为

$\{a_{n}\}$ 和

$\{b_{n}\}$ 的前

$n$ 项和．证明：

$T_{n}<\dfrac{{S}_{n}}{2}$ ．
分析：（1）根据

$a_{1}$ ，

$3a_{2}$ ，

$9a_{3}$ 成等差数列，

$\{a_{n}\}$ 是首项为1的等比数列，求出公比

$q$ ，进一步求出

$\{a_{n}\}$ 和

$\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）分别利用等比数列的前

$n$ 项和公式和错位相减法，求出

$S_{n}$ 和

$T_{n}$ ，再利用作差法证明

$T_{n}<\dfrac{{S}_{n}}{2}$ ．
解：（1）

$\because a_{1}$ ，

$3a_{2}$ ，

$9a_{3}$ 成等差数列，

$\therefore 6a_{2}=a_{1}+9a_{3}$ ，

$\because \{a_{n}\}$ 是首项为1的等比数列，设其公比为

$q$ ，
则

$6q=1+9q^{2}$ ，

$\therefore q=\dfrac{1}{3}$ ，

$\therefore a_{n}=a_{1}q^{n-1}=(\dfrac{1}{3})^{n-1}$ ，

$\therefore b_{n}=\dfrac{n{a}_{n}}{3}=n\cdot (\dfrac{1}{3})^{n}$ ．
（2）证明：由（1）知

$a_{n}=(\dfrac{1}{3})^{n-1}$ ，

$b_{n}=n\cdot (\dfrac{1}{3})^{n}$ ，

$\therefore$

${S}_{n}=\dfrac{1\times [1-(\dfrac{1}{3})^{n}]}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\times (\dfrac{1}{3})^{n-1}$ ，

${T}_{n}=1\times (\dfrac{1}{3})^{1}+2\times (\dfrac{1}{3})^{2}+\ldots +n\cdot (\dfrac{1}{3})^{n}$ ，①

$\therefore$

$\dfrac{1}{3}{T}_{n}=1\times (\dfrac{1}{3})^{2}+2\times (\dfrac{1}{3})^{3}+\ldots +n\cdot (\dfrac{1}{3})^{n+1}$ ，②
①

$-$ ②得，

$\dfrac{2}{3}{T}_{n}=\dfrac{1}{2}[1-(\dfrac{1}{3})^{n}]-n(\dfrac{1}{3})^{n+1}$ ，

$\therefore$

${T}_{n}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}\times (\dfrac{1}{3})^{n-1}-\dfrac{n}{2}(\dfrac{1}{3})^{n}$ ，

$\therefore$

${T}_{n}-\dfrac{{S}_{n}}{2}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}\times (\dfrac{1}{3})^{n-1}-\dfrac{n}{2}\cdot (\dfrac{1}{3})^{n}-[\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}\times (\dfrac{1}{3})^{n-1}]<0$ ，

$\therefore T_{n}<\dfrac{{S}_{n}}{2}$ ．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前

$n$ 项和公式和利用错位相减法求数列的前

$n$ 项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．

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