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2021年高考数学乙卷-文18

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18．（12分）如图，四棱锥

$P-ABCD$ 的底面是矩形，

$PD\bot$ 底面

$ABCD$ ，

$M$ 为

$BC$ 的中点，且

$PB\bot AM$ ．
（1）证明：平面

$PAM\bot$ 平面

$PBD$ ；
（2）若

$PD=DC=1$ ，求四棱锥

$P-ABCD$ 的体积．

分析：（1）通过线面垂线即可证明；即只需证明

$AM\bot$ 平面

$PBD$ ．
（2）根据

$PD\bot$ 底面

$ABCD$ ，可得

$PD$ 即为四棱锥

$P-ABCD$ 的高，利用体积公式计算即可．
（1）证明：

$\because PD\bot$ 底面

$ABCD$ ，

$AM\subset$ 平面

$ABCD$ ，

$\therefore PD\bot AM$ ，
又

$\because PB\bot AM$ ，

$PD\bigcap PB=P$ ，

$PB$ ，

$PD\subset$ 平面

$PBD$ ．

$\therefore AM\bot$ 平面

$PBD$ ．

$\because AM\subset$ 平面

$PAM$ ，

$\therefore$ 平面

$PAM\bot$ 平面

$PBD$ ；
（2）
解：由

$PD\bot$ 底面

$ABCD$ ，

$\therefore PD$ 即为四棱锥

$P-ABCD$ 的高，

$\Delta DPB$ 是直角三角形；

$\because ABCD$ 底面是矩形，

$PD=DC=1$ ，

$M$ 为

$BC$ 的中点，且

$PB\bot AM$ ．
设

$AD=BC=2a$ ，取

$CP$ 的中点为

$F$ ．作

$EF\bot CD$ 交于

$E$ ，

连接

$MF$ ，

$AF$ ，

$AE$ ，
可得

$MF//PB$ ，

$EF//DP$ ，
那么

$AM\bot MF$ ．且

$EF=\dfrac{1}{2}$ ．

$AE=\sqrt{A{D}^{2}+E{D}^{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+4{a}^{2}}$ ，

$AM=\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+1}$ ，

$AF=\sqrt{E{F}^{2}+A{E}^{2}}$ ．

$\because \Delta DPB$ 是直角三角形，

$\therefore$ 根据勾股定理：

$BP=\sqrt{2+4{a}^{2}}$ ，则

$MF=\dfrac{\sqrt{2+4{a}^{2}}}{2}$ ；
由

$\Delta AMF$ 是直角三角形，
可得

$AM^{2}+MF^{2}=AF^{2}$ ，
解得

$a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ．
底面

$ABCD$ 的面积

$S=\sqrt{2}$ ，
则四棱锥

$P-ABCD$ 的体积

$V=\dfrac{1}{3}\cdot h\cdot S=\dfrac{1}{3}\times 1\times \sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ ．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力，是中档题．

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