2021年高考数学乙卷-文11

11．（5分）设

$B$ 是椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的上顶点，点

$P$ 在

$C$ 上，则

$\vert PB\vert$ 的最大值为(　　)
A．

$\dfrac{5}{2}$ B．

$\sqrt{6}$ C．

$\sqrt{5}$ D．2
分析：求出

$B$ 的坐标，设

$P(\sqrt{5}\cos \theta$ ，

$\sin \theta )$ ，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化求解距离的最大值即可．
解：

$B$ 是椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的上顶点，所以

$B(0,1)$ ，
点

$P$ 在

$C$ 上，设

$P(\sqrt{5}\cos \theta$ ，

$\sin \theta )$ ，

$\theta \in [0$ ，

$2\pi )$ ，
所以

$\vert PB\vert =\sqrt{(\sqrt{5}\cos \theta -0)^{2}+(\sin \theta -1)^{2}}=\sqrt{4co{s}^{2}\theta -2\sin \theta +2}$

$=\sqrt{-4si{n}^{2}\theta -2\sin \theta +6}=\sqrt{-4(\sin \theta +\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{25}{4}}$ ，
当

$\sin \theta =-\dfrac{1}{4}$ 时，

$\vert PB\vert$ 取得最大值，最大值为

$\dfrac{5}{2}$ ．
故选：

$A$ ．
点评：本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

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