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2021年高考数学乙卷-文10<-->2021年高考数学乙卷-文12
11．（5分）设$B$是椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{5}+y^{2}=1$的上顶点，点$P$在$C$上，则$\vert PB\vert$的最大值为( )
A．$\dfrac{5}{2}$ B．$\sqrt{6}$ C．$\sqrt{5}$ D．2
分析：求出$B$的坐标，设$P(\sqrt{5}\cos \theta$，$\sin \theta )$，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化求解距离的最大值即可．
解：$B$是椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{5}+y^{2}=1$的上顶点，所以$B(0,1)$，
点$P$在$C$上，设$P(\sqrt{5}\cos \theta$，$\sin \theta )$，$\theta \in [0$，$2\pi )$，
所以$\vert PB\vert =\sqrt{(\sqrt{5}\cos \theta -0)^{2}+(\sin \theta -1)^{2}}=\sqrt{4co{s}^{2}\theta -2\sin \theta +2}$
$=\sqrt{-4si{n}^{2}\theta -2\sin \theta +6}=\sqrt{-4(\sin \theta +\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{25}{4}}$，
当$\sin \theta =-\dfrac{1}{4}$时，$\vert PB\vert$取得最大值，最大值为$\dfrac{5}{2}$．
故选：$A$．
点评：本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
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