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2021年高考数学乙卷-文9<-->2021年高考数学乙卷-文11
10．（5分）在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$P$为$B_{1}D_{1}$的中点，则直线$PB$与$AD_{1}$所成的角为( )
A．$\dfrac{\pi }{2}$ B．$\dfrac{\pi }{3}$ C．$\dfrac{\pi }{4}$ D．$\dfrac{\pi }{6}$
分析：由$AD_{1}//BC_{1}$，得$\angle PBC_{1}$是直线$PB$与$AD_{1}$所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理，求出直线$PB$与$AD_{1}$所成的角．
解$\because AD_{1}//BC_{1}$，$\therefore \angle PBC_{1}$是直线$PB$与$AD_{1}$所成的角（或所成角的补角），
设正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为2，
则$PB_{1}=PC_{1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{2}$，$BC_{1}=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，$BP=\sqrt{{2}^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{6}$，
$\therefore \cos \angle PBC_{1}=\dfrac{P{B}^{2}+B{{C}_{1}}^{2}-P{{C}_{1}}^{2}}{2\times PB\times B{C}_{1}}=\dfrac{6+8-2}{2\times \sqrt{6}\times 2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore \angle PBC_{1}=\dfrac{\pi }{6}$，
$\therefore$直线$PB$与$AD_{1}$所成的角为$\dfrac{\pi }{6}$．
故选：$D$．
点评：本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．
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