2021年高考数学乙卷-文8

8．（5分）下列函数中最小值为4的是(　　)
A．

$y=x^{2}+2x+4$ B．

$y=\vert \sin x\vert +\dfrac{4}{\vert \sin x\vert }$ C．

$y=2^{x}+2^{2-x}$ D．

$y=lnx+\dfrac{4}{lnx}$
分析：利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项

$A$ ，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项

$B$ ，利用基本不等式求出最值，即可判断选项

$C$ ，利用特殊值验证，即可判断选项

$D$ ．
解：对于

$A$ ，

$y=x^{2}+2x+4=(x+1)^{2}+3\geqslant 3$ ，
所以函数的最小值为3，故选项

$A$ 错误；
对于

$B$ ，因为

$0<\vert \sin x\vert \leqslant 1$ ，所以

$y=\vert \sin x\vert +\dfrac{4}{\vert \sin x\vert }\geqslant 2\sqrt{\vert \sin x\vert \cdot \dfrac{4}{\vert \sin x\vert }}=4$ ，
当且仅当

$\vert \sin x\vert =\dfrac{4}{\vert \sin x\vert }$ ，即

$\vert \sin x\vert =2$ 时取等号，
因为

$\vert \sin x\vert \leqslant 1$ ，所以等号取不到，
所以

$y=\vert \sin x\vert +\dfrac{4}{\vert \sin x\vert }>4$ ，故选项

$B$ 错误；
对于

$C$ ，因为

$2^{x}>0$ ，所以

$y=2^{x}+2^{2-x}={2}^{x}+\dfrac{4}{{2}^{x}}\geqslant 2\sqrt{{2}^{x}\cdot \dfrac{4}{{2}^{x}}}=4$ ，
当且仅当

$2^{x}=2$ ，即

$x=1$ 时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项

$C$ 正确；
对于

$D$ ，因为当

$x=\dfrac{1}{e}$ 时，

$y=ln\dfrac{1}{e}+\dfrac{4}{ln\dfrac{1}{e}}=-1-4=-5<4$ ，
所以函数的最小值不是4，故选项

$D$ 错误．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．

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