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2021年高考数学乙卷-文3<-->2021年高考数学乙卷-文5
4．（5分）函数$f(x)=\sin \dfrac{x}{3}+\cos \dfrac{x}{3}$的最小正周期和最大值分别是( )
A．$3\pi$和$\sqrt{2}$ B．$3\pi$和2 C．$6\pi$和$\sqrt{2}$ D．$6\pi$和2
分析：化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．
解：$\because f(x)=\sin \dfrac{x}{3}+\cos \dfrac{x}{3}=\sqrt{2}\sin (\dfrac{x}{3}+\dfrac{\pi }{4})$，
$\therefore T=\dfrac{2\pi }{\dfrac{1}{3}}=6\pi$．
当$\sin (\dfrac{x}{3}+\dfrac{\pi }{4})=1$时，函数$f(x)$取得最大值$\sqrt{2}$；
$\therefore$函数$f(x)$的周期为$6\pi$，最大值$\sqrt{2}$．
故选：$C$．
点评：本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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