2021年高考数学乙卷-文4

4．（5分）函数

$f(x)=\sin \dfrac{x}{3}+\cos \dfrac{x}{3}$ 的最小正周期和最大值分别是(　　)
A．

$3\pi$ 和

$\sqrt{2}$ B．

$3\pi$ 和2 C．

$6\pi$ 和

$\sqrt{2}$ D．

$6\pi$ 和2
分析：化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．
解：

$\because f(x)=\sin \dfrac{x}{3}+\cos \dfrac{x}{3}=\sqrt{2}\sin (\dfrac{x}{3}+\dfrac{\pi }{4})$ ，

$\therefore T=\dfrac{2\pi }{\dfrac{1}{3}}=6\pi$ ．
当

$\sin (\dfrac{x}{3}+\dfrac{\pi }{4})=1$ 时，函数

$f(x)$ 取得最大值

$\sqrt{2}$ ；

$\therefore$ 函数

$f(x)$ 的周期为

$6\pi$ ，最大值

$\sqrt{2}$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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