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2021年高考数学乙卷-理5

2021年高考数学乙卷-理4<-->2021年高考数学乙卷-理6

5．（5分）在正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$P$ 为

$B_{1}D_{1}$ 的中点，则直线

$PB$ 与

$AD_{1}$ 所成的角为(　　)
A．

$\dfrac{\pi }{2}$ B．

$\dfrac{\pi }{3}$ C．

$\dfrac{\pi }{4}$ D．

$\dfrac{\pi }{6}$
分析：由

$AD_{1}//BC_{1}$ ，得

$\angle PBC_{1}$ 是直线

$PB$ 与

$AD_{1}$ 所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理，求出直线

$PB$ 与

$AD_{1}$ 所成的角．
解

$\because AD_{1}//BC_{1}$ ，

$\therefore \angle PBC_{1}$ 是直线

$PB$ 与

$AD_{1}$ 所成的角（或所成角的补角），
设正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的棱长为2，
则

$PB_{1}=PC_{1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{2}$ ，

$BC_{1}=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$ ，

$BP=\sqrt{{2}^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{6}$ ，

$\therefore \cos \angle PBC_{1}=\dfrac{P{B}^{2}+B{{C}_{1}}^{2}-P{{C}_{1}}^{2}}{2\times PB\times B{C}_{1}}=\dfrac{6+8-2}{2\times \sqrt{6}\times 2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$\therefore \angle PBC_{1}=\dfrac{\pi }{6}$ ，

$\therefore$ 直线

$PB$ 与

$AD_{1}$ 所成的角为

$\dfrac{\pi }{6}$ ．
故选：

$D$ ．

点评：本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．

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