2020年高考数学全国卷Ⅰ--文20<-->2020年高考数学全国卷Ⅰ--文22
已知，分别为椭圆：（）的左、右顶点，为的上顶点，。为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为。
（1）求的方程。
（2）证明：直线过定点。
（1）由题意知，，，
所以，，
又因为，所以，
得到，所以的方程为。
（2）证明：设，则的方程为，
联立得，
由韦达定理可得，
因为一根为，
所以，
将其代入直线中，得到，
同理可得。
由对称性可知过的定点在轴上，设为。
由题意得，所以，
得，
所以
解得，
所以直线过定点。
本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线的位置关系。
（1）由题意知，，，根据向量条件可得，所以的方程为。
（2）求出的方程为，联立的方程与椭圆的方程可求得，同理可得。由于点的取法可以关于轴对称，所以过的定点在轴上。设为，则，所以，所以得到，解得，所以直线过定点。
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