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2020年高考数学全国卷Ⅰ--文20

(2020全国Ⅰ卷计算题)

已知函数

(1)当时,讨论的单调性。

(2)若有两个零点,求的取值范围。

【出处】
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):文数第20题
【答案】

(1)当时,

所以

所以当时,;当时,

所以函数上单调递减,在上单调递增。

(2)因为

所以

①若,则上恒成立,

所以函数上单调递增,

所以函数最多只有一个零点,不符合题意,舍去。

②若,令得到

所以当时,;当时,

所以函数上单调递减,在上单调递增,

所以

要使得函数有两个零点,则需要

因为

所以

所以

的取值范围是

【解析】

本题主要考查导数的计算和导数在研究函数中的应用。

(1)对函数求导得到,通过判断的正负来判断函数的单调性即可。

(2)首先对函数求导得到,通过判断的正负来判断函数的单调性。然后排除的情况。在时,得到函数上单调递减,在上单调递增。所以若函数有两个零点,则需要。从而得到关于的不等式,求解出该不等式的解集即可得到实数的取值范围。

【考点】
导数的计算利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的零点导数的计算导数在研究函数中的应用
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