2020年高考数学全国卷Ⅰ--文19<-->2020年高考数学全国卷Ⅰ--文21
已知函数。
(1)当时,讨论的单调性。
(2)若有两个零点,求的取值范围。
(1)当时,,
所以,
所以当时,;当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增。
(2)因为,
所以。
①若,则在上恒成立,
所以函数在上单调递增,
所以函数最多只有一个零点,不符合题意,舍去。
②若,令得到,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以
,
要使得函数有两个零点,则需要,
即,
因为,
即的取值范围是。
本题主要考查导数的计算和导数在研究函数中的应用。
(1)对函数求导得到,通过判断的正负来判断函数的单调性即可。
(2)首先对函数求导得到,通过判断的正负来判断函数的单调性。然后排除的情况。在时,得到函数在上单调递减,在上单调递增。所以若函数有两个零点,则需要。从而得到关于的不等式,求解出该不等式的解集即可得到实数的取值范围。
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