2020年高考数学全国卷Ⅰ--文18<-->2020年高考数学全国卷Ⅰ--文20
如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,是底面的内接正三角形,为上一点,。
(1)证明:平面平面。
(2)设,圆锥的侧面积为,求三棱锥的体积。
(1)证明:如图,连接并延长,交于点,
因为为外接圆的圆心,
所以,即。
在圆锥中易知平面,
因为平面,
所以,
因为,,,
,平面,
所以平面,
因为,
所以平面平面。
(2)设圆锥底面半径为,母线长为,
因为,且圆锥侧面积为,
所以,,
解得,,
因为,,
所以,,,
所以。
本题主要考查点、直线、平面的位置关系。
(1)连接并延长交于点,首先由为外接圆的圆心得到,然后由平面证明得出平面,然后得出。根据和得到平面,又因为在平面内,即可得证。(2)设圆锥底面半径为,母线长为,根据圆锥的高和侧面积求出半径和母线长,然后得到的边长,利用和得到所求三棱锥的高后,利用三棱锥体积公式即可求解。
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